Para um sistema oscilatório em uma mola, a posição de um corpo em movimento circular é dada por r(t)=(A cos (omega t), A sin (omega t), 0), onde A é a amplitude e omega a frequência angular.
  • (a) Calcule a velocidade v(t) do corpo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema oscilatório numa mola, onde a posição de um corpo em movimento circular é dada por . Aqui, é a amplitude da oscilação e é a frequência angular. Nosso objetivo é encontrar a velocidade desse corpo.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar cada componente da função posição em relação ao .

Passo 3

Vamos derivar a primeira componente: ddt[A cos (omega t)] = -A omega sin (omega t) . A derivada de em relação a é . Então, a derivada dessa componente fica:

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda componente: ddt[A sin (omega t)] = A omega cos (omega t) . A derivada de em relação a é . Assim, a derivada dessa componente é:

Passo 5

A terceira componente da posição é ddt[0] = 0 , que é uma constante. A derivada de uma constante é zero:

Resposta

Juntando tudo, a velocidade v(t) = ( -A omega sin (omega t), A omega cos (omega t), 0 ) do corpo é:

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