Obtenha aproximações para a solução y(x) do PVI:
c y^prime=1+yx y(1)=2
na malha [0,1], com n=5 subintervalos, usando o Método de Taylor de 2^a Ordem.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a solução do problema de valor inicial
y' = 1 + dfrac yx, y(1)=2
usando o Método de Taylor de 2ª ordem numa malha de n=5 subintervalos. Note que o PVI está dado em x=1, então vamos assumir que a malha é [1,2]. O que precisamos: a expressão de f(x,y)=1+y/x, suas derivadas parciais para montar o termo de 2ª ordem, e o passo h.

Passo 2

Temos f(x,y)=1+dfrac yx. Calculamos as parciais:
fx = partialpartial xl(1+ yxr) = - yx^2, fy = partialpartial yl(1+ yxr) = 1x
Logo a derivada segunda é
d^2ydx^2 = fx + f,fy = - yx^2 + l(1+ yxr)1x = 1x

Passo 3

O Método de Taylor de 2ª ordem dá, de xn a xn+1=xn+h,
yn+1 = yn + h,f(xn,yn) + h^22,d^2ydx^2l|xn,yn = yn + hl(1+ynxnr) + h^22,1xn

Passo 4

O passo é
h=2-15=0,2,
e os nós são xn=1+0,2,n, para n=0,dots,5. Partindo de y0=2 em x0=1 e aplicando a fórmula obtemos, em cada passo,
yn+1 = yn + 0,2l(1+ynxnr) + 0,021xn

Passo 5

Fazendo as contas obtemos
x0&=1,0,;y0=2,0000, x1&=1,2,;y1approx2,6200, x2&=1,4,;y2approx3,2733, x3&=1,6,;y3approx3,9552, x4&=1,8,;y4approx4,6621, x5&=2,0,;y5approx5,3913

Resposta

x0=1,0,;y0=2,0000
x1=1,2,;y1approx2,6200
x2=1,4,;y2approx3,2733
x3=1,6,;y3approx3,9552
x4=1,8,;y4approx4,6621
x5=2,0,;y5approx5,3913

Exercícios relacionados