Dado o PVI:
c y^prime=y x^2-y y(0)=1
Sabendo que a solução exata do PVI é y(x)=e^x^33-x, compare os resultados encontrados pela solução numérica com os da solução exata (ou analítica) e comente.

Passo 1

O problema é o valor inicial
y'=y,x^2 - y, y(0)=1,
cuja solução exata é
y(x)=e^x^33-x
Vamos comparar com a solução numérica pelo método de Euler explícito com passo h=0,1 nos nós xn=0,0,1,dots,0,5.

Passo 2

Aplicamos o método de Euler:
yn+1=yn + h,f(xn,yn) onde f(x,y)=y,(x^2-1)
No início, x0=0,;y0=1.

Passo 3

Cálculo passo a passo:
y1 &=1 +0,1cdot1,(0^2-1)=0,9, y2 &=0,9+0,1cdot0,9,(0,1^2-1)=0,8109, y3 &=0,8109+0,1cdot0,8109,(0,2^2-1)=0,7335, y4 &=0,7335+0,1cdot0,7335,(0,3^2-1)=0,6667, y5 &=0,6667+0,1cdot0,6667,(0,4^2-1)=0,6107

Passo 4

Avaliação da solução exata nos mesmos nós:
y(0,0)&=e^0-0=1, y(0,1)&=e^0,1^33-0,1=e^-0,099667approx0,9051, y(0,2)&=e^0,2^33-0,2=e^-0,197333approx0,8209, y(0,3)&=e^0,3^33-0,3=e^-0,291000approx0,7477, y(0,4)&=e^0,4^33-0,4=e^-0,378667approx0,6848, y(0,5)&=e^0,5^33-0,5=e^-0,458333approx0,6325

Passo 5

Cálculo dos erros En=yn - y(xn):
E1&=0,9000-0,9051approx-0,0051, E2&=0,8109-0,8209approx-0,0100, E3&=0,7335-0,7477approx-0,0142, E4&=0,6667-0,6848approx-0,0181, E5&=0,6107-0,6325approx-0,0218

Passo 6

Observa-se que o método de Euler subestima y(x) e o erro cresce à medida que x aumenta, de forma aproximadamente linear em x. Isso ocorre porque o método de Euler tem ordem de convergência 1, ou seja, o erro global é O(h). Para reduzir esse desvio podemos usar h menor ou um método de ordem superior (por exemplo, Runge–Kutta de quarta ordem).

Resposta

O método de Euler com h=0,1 produz valores sempre abaixo da solução exata, com erro global crescente (de -5,1times10^-3 em x=0,1 até -2,18times10^-2 em x=0,5), confirmando que o erro do método de Euler é O(h) e acumula-se conforme x cresce.

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