Resolva as seguintes equações para encontrar os números reais x e y.
\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2}+\frac{1}{x+i y}=1+i

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os reais x e y tais que
\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2} + \frac{1}{x + i\,y} = 1 + i.
O conteúdo envolve operações com números complexos: divisão por conjugado, elevação ao quadrado e inversão de um número complexo.

Passo 2

Calcular
\frac{1+i}{1-i}
multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 1 - i, que é 1 + i:
\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1 + 2i - 1}{1 - (-1)} = \frac{2i}{2} = i.

Passo 3

Elevar ao quadrado o resultado do passo anterior:
\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2} = i^{2} = -1.

Passo 4

Substituir na equação original:
-1 + \frac{1}{x + i\,y} = 1 + i
e isolar \tfrac{1}{x + i\,y}:
\frac{1}{x + i\,y} = 1 + i + 1 = 2 + i.

Passo 5

Inverter ambos os lados para obter x + i\,y:
x + i\,y = \frac{1}{2 + i} = \frac{2 - i}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{2 - i}{4 + 1} = \frac{2 - i}{5} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}\,i.

Passo 6

Igualar partes real e imaginária:
x = \frac{2}{5}, \quad y = -\frac{1}{5}.

Resposta

x = \tfrac{2}{5}
y = -\tfrac{1}{5}

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