Considere um capacitor esférico de raio interno
e raio externo
, carregado com carga
na superfície interna, e
na superfície externa, a região entre as armaduras do capacitor é totalmente preenchida por um material dielétrico linear e homogêneo de constante dielétrica igual a
.
(a) Calcule na região interior ao capacitor o deslocamento elétrico
, o campo elétrico
e a polarização
.
(b) Determine as densidades volumar e superficial de cargas polarizadas. Mostre que a soma de todas as cargas polarizadas é nula.
(c) Use a expressão abaixo para calcular a energia armazena em um capacitor, para depois encontrar a sua a capacitância.
(a) Calcule na região interior ao capacitor o deslocamento elétrico
(b) Determine as densidades volumar e superficial de cargas polarizadas. Mostre que a soma de todas as cargas polarizadas é nula.
(c) Use a expressão abaixo para calcular a energia armazena em um capacitor, para depois encontrar a sua a capacitância.
Passo 1
O enunciado trata de um capacitor esférico cujas armaduras estão em
(superfície interna) e
(superfície externa), com carga livre
na interna e
na externa. A região
está preenchida por um dielétrico linear homogêneo de constante diéletrica
. Vamos usar Gauss para
, a relação
, e as fórmulas de polarização e energia em dielétricos.
Passo 2
Usando a lei de Gauss para
,
numa superfície esférica de raio
com
temos
. Logo
Passo 3
Num dielétrico linear homogêneo satisfazemos
. Assim
Passo 4
A polarização é
com
, ou diretamente
. Qualquer forma dá
Passo 5
A densidade volumétrica de carga ligada é
Passo 6
A densidade superficial ligada numa face do dielétrico é
.
— Em o normal “para fora” do dielétrico é
, então
— Em
— Em
o normal é
, então
Passo 7
Somando todas as cargas polarizadas:
Passo 8
A energia armazenada é
Passo 9
A capacitância vem de
, logo
Resposta
(a)
(b)
e a soma total das cargas polarizadas é zero.
(c)