Considere um capacitor esférico de raio interno R1 e raio externo R2, carregado com carga +Q na superfície interna, e -Q na superfície externa, a região entre as armaduras do capacitor é totalmente preenchida por um material dielétrico linear e homogêneo de constante dielétrica igual a K.
(a) Calcule na região interior ao capacitor o deslocamento elétrico D, o campo elétrico E e a polarização P.
(b) Determine as densidades volumar e superficial de cargas polarizadas. Mostre que a soma de todas as cargas polarizadas é nula.
(c) Use a expressão abaixo para calcular a energia armazena em um capacitor, para depois encontrar a sua a capacitância.
U=12 integral D cdot E d V

Passo 1

O enunciado trata de um capacitor esférico cujas armaduras estão em r=R1 (superfície interna) e r=R2 (superfície externa), com carga livre +Q na interna e -Q na externa. A região R1<r<R2 está preenchida por um dielétrico linear homogêneo de constante diéletrica K. Vamos usar Gauss para vec D, a relação vec D=epsilon0K,vec E, e as fórmulas de polarização e energia em dielétricos.

Passo 2

Usando a lei de Gauss para vec D,
oint vec Dcdot dvec a ;=; Qlivre,,
numa superfície esférica de raio r com R1<r<R2 temos D(r),4pi r^2=Q. Logo
vec D(r) =Q4pi r^2;hat r

Passo 3

Num dielétrico linear homogêneo satisfazemos vec D=epsilon0K,vec E. Assim
vec E(r) =vec D(r)epsilon0K =Q4piepsilon0K,r^2;hat r

Passo 4

A polarização é vec P=epsilon0chie,vec E com chie=K-1, ou diretamente vec P=vec D-epsilon0vec E. Qualquer forma dá
vec P(r) =(K-1),Q4pi K,r^2;hat r

Passo 5

A densidade volumétrica de carga ligada é
rhob=-nabla!cdot!vec P =-1r^2ddrl(r^2Prr) =-1r^2ddrl(tfrac(K-1)Q4pi Kr) =0

Passo 6

A densidade superficial ligada numa face do dielétrico é sigmab=vec Pcdothat n.
— Em r=R1 o normal “para fora” do dielétrico é hat n=-hat r, então
sigmab(R1) =-Pr(R1) =-(K-1),Q4pi K,R1^2
— Em r=R2 o normal é hat n=+hat r, então
sigmab(R2) =+Pr(R2) =(K-1),Q4pi K,R2^2

Passo 7

Somando todas as cargas polarizadas:
Qb,vol=0, Qb,sup=4pi R1^2sigmab(R1) +4pi R2^2sigmab(R2) =-(K-1)tfracQK+(K-1)tfracQK=0

Passo 8

A energia armazenada é
U=tfrac12integral vec Dcdotvec E,d V =tfrac12integralR1^R2 Q4pi r^2Q4piepsilon0K,r^2;4pi r^2dr =Q^28piepsilon0KintegralR1^R2drr^2
=Q^28piepsilon0Kl(1R1-1R2r)

Passo 9

A capacitância vem de U=Q^2/(2C), logo
Q^22C =Q^28piepsilon0Kl(1R1-1R2r) ;Longrightarrow; C=4piepsilon0K1R1-1R2 =4piepsilon0K,R1R2R2-R1

Resposta

(a)
D(r) = Q4pi r^2 r, E(r) = Q4pi epsilon0 K r^2 r, P(r) = (K-1)Q4pi K r^2 r
(b)
rhob = 0, sigmab(R1) = -(K-1)Q4pi K R1^2, sigmab(R2) = +(K-1)Q4pi K R2^2,
e a soma total das cargas polarizadas é zero.
(c)
U = Q^28pi epsilon0 K l( 1R1 - 1R2 r), C = 4pi epsilon0 K R1 R2R2 - R1

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