Considere um capacitor de placas paralelas de área \mathrm{A}=3,1 \mathrm{~cm}^{\wedge} 2, cuja distância entre as placas é \mathrm{d}=0,4 \mathrm{~mm}.
Qual a ddp necessária para armazenar uma energia de \mathrm{E}=5 \eta J (nanoJoules)?

Passo 1

Dados fornecidos pelo enunciado:
  • Área das placas: A=3,1\\ \text{cm}^2.
  • Distância entre as placas: d=0,4\\ \text{mm}.
  • Energia a ser armazenada: E=5\\ \text{nJ}.
O que o exercício pede:
  • Determinar a diferença de potencial (ddp) necessária, isto é, o valor de V tal que o capacitor armazene a energia E.

Passo 2

Primeiro vamos converter todas as quantidades para o SI (metros, joules, farads, etc.), porque as fórmulas usam essas unidades.
  • Converter a área:
A = 3,1\\ \text{cm}^2 = 3,1\times 10^{-4}\\ \text{m}^2,
porque 1\\ \text{cm}^2 = 10^{-4}\\ \text{m}^2.
  • Converter a distância:
d = 0,4\\ \text{mm} = 4,0\times 10^{-4}\\ \text{m},
porque 1\\ \text{mm}=10^{-3}\\ \text{m}.
  • Converter a energia:
E = 5\\ \text{nJ} = 5,0\times 10^{-9}\\ \text{J},
porque 1\\ \text{nJ}=10^{-9}\\ \text{J}.

Passo 3

Agora as fórmulas físicas que vamos usar (explicando cada variável):
  • A capacitância de um capacitor de placas paralelas, assumindo que o dielétrico entre as placas seja o vácuo/ar, é dada por
C=\varepsilon_0\frac{A}{d},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante elétrica), A é a área das placas e d é a distância entre elas. Numericamente podemos usar \varepsilon_0\approx 8,85\times10^{-12}\\ \text{F/m}.
  • A energia armazenada num capacitor é
E=\tfrac{1}{2}C V^2,
onde E é energia em joules, C é capacitância em farads e V é a diferença de potencial (ddp) em volts.
Nosso objetivo é isolar V a partir de E=\tfrac{1}{2}C V^2.

Passo 4

Calcular primeiro a capacitância C usando os valores convertidos:
C=\varepsilon_0\frac{A}{d} = \left(8,85\times10^{-12}\\ \text{F/m}\right)\frac{3,1\times10^{-4}\\ \text{m}^2}{4,0\times10^{-4}\\ \text{m}}.
Calcule a razão A/d:
\frac{A}{d}=\frac{3,1\times10^{-4}}{4,0\times10^{-4}}=0,775.
Então
C \approx 8,85\times10^{-12}\times 0,775 \approx 6,86\times10^{-12}\\ \text{F}.

Passo 5

Isolar V na fórmula da energia:
E=\tfrac{1}{2}C V^2 \quad\Rightarrow\quad V^2=\frac{2E}{C}\quad\Rightarrow\quad V=\sqrt{\frac{2E}{C}}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos:
  • Primeiro 2E:
2E = 2\times 5,0\times10^{-9}\\ \text{J} = 1,0\times10^{-8}\\ \text{J}.
  • A razão 2E/C:
\frac{2E}{C} \approx \frac{1,0\times10^{-8}}{6,86\times10^{-12}} \approx 1,458\times10^{3}.
  • Raiz quadrada:
V \approx \sqrt{1,458\times10^{3}} \approx 38,2\\ \text{V}.

Passo 7

Interpretação e verificação rápida: a unidade ficou em volts como esperado, e o valor tem magnitude coerente (algumas dezenas de volts para energia de ordem de nanojoules e capacitância picofarads). Arredondando com razoável precisão, a ddp necessária é cerca de 38,2\\ \text{V}. Você consegue respirar agora — é um número tranquilo de memorizar para a prova 😃

Resposta

V \approx 38,2\\ \text{V}

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