Duas cascas esféricas condutoras de raio
e
estão dispostas concentricamente e carregadas de tal forma que possuem potenciais
e
respectivamente. Se
determine o potencial nos pontos entre as cascas e nos pontos
.
- Dica : Dada a simetria do problema, considere que a forma geral do potencial é
sendo
e
constantes a serem determinadas.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas cascas esféricas condutoras concêntricas de raios
e
carregadas de modo que seus potenciais sejam
e
. Como há simetria esférica e não há cargas no espaço entre as cascas, o potencial satisfaz a equação de Laplace, cuja solução geral é
. Vamos usar isso e impor as condições de contorno em cada região.
Passo 2
Para a região intermediária
, suponha
e imponha que em
vale
e em
vale
. Isso gera o sistema:
Passo 3
Subtraindo as equações do sistema obtemos
logo
Para
, use
, resultando
Passo 4
Assim, para
fica
Passo 5
Para
, o potencial geral ainda é
. Como
, temos
. Impondo
dá
.
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Resposta
Para r_a<r<r_b:
$$\varphi®=\frac{r_a r_b(\varphi_a-\varphi_b)}{(r_b-r_a),r}+\frac{r_b\varphi_b - r_a\varphi_a}{r_b-r_a}.
$$