Duas cascas esféricas condutoras de raio ra e rb estão dispostas concentricamente e carregadas de tal forma que possuem potenciais varphia e varphib respectivamente. Se rb>ra determine o potencial nos pontos entre as cascas e nos pontos r>rb.
  • Dica : Dada a simetria do problema, considere que a forma geral do potencial é
varphi(r)=Ar+B
sendo A e B constantes a serem determinadas.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas cascas esféricas condutoras concêntricas de raios ra e rb carregadas de modo que seus potenciais sejam varphia e varphib. Como há simetria esférica e não há cargas no espaço entre as cascas, o potencial satisfaz a equação de Laplace, cuja solução geral é varphi(r)=A/r + B. Vamos usar isso e impor as condições de contorno em cada região.

Passo 2

Para a região intermediária ra, suponha varphi(r)=A/r + B e imponha que em r=ra vale varphia e em r=rb vale varphib. Isso gera o sistema:
Ara+B=varphia, Arb+B=varphib

Passo 3

Subtraindo as equações do sistema obtemos
Al(1ra-1rbr)=varphia-varphib
logo
A=varphia-varphib1ra-1rb=ra rb(varphia-varphib)rb-ra
Para B, use B=varphia - A/ra, resultando
B=rbvarphib - ravarphiarb-ra

Passo 4

Assim, para ra fica
varphi(r)=ra rb(varphia-varphib)(rb-ra),r+rbvarphib - ravarphiarb-ra

Passo 5

Para r>rb, o potencial geral ainda é A'/r+B'. Como varphi(infty)=0, temos B'=0. Impondo varphi(rb)=varphib A'=rbvarphib.
Logo para r>rb
varphi(r)=rbvarphibr

Resposta

Para r_a<r<r_b:
$$\varphi®=\frac{r_a r_b(\varphi_a-\varphi_b)}{(r_b-r_a),r}+\frac{r_b\varphi_b - r_a\varphi_a}{r_b-r_a}.
varphi(r)=ra rb(varphia-varphib)(rb-ra),r+rbvarphib - ravarphiarb-ra \varphi®=\frac{r_b\varphi_b}{r}.
$$

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