Considere uma carga linear uniforme de lambda=2 times 10^-6 C / m distribuída ao longo de uma linha de 1 m . Qual é a força elétrica exercida sobre uma carga de +1 mu C localizada a 50 cm da linha?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma linha de carga com densidade linear de carga lambda = 2 times 10^-6 , C/m distribuída ao longo de 1 metro. Queremos descobrir qual é a força elétrica exercida sobre uma carga de +1 , muC que está a 50 cm dessa linha. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de campo elétrico devido a uma distribuição contínua de carga e a Lei de Coulomb para calcular a força.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o campo elétrico gerado pela linha de carga na posição onde a carga de +1 , muC está localizada. O campo elétrico ( E) devido a uma carga linear uniforme pode ser calculado integrando as contribuições de pequenas partes da linha de carga.

Passo 3

Vamos considerar um pequeno elemento de comprimento dx da linha de carga. A carga desse elemento é dq = lambda , dx. A distância desse elemento à carga de +1 , muC é 50 cm, ou 0,5 metros. O campo elétrico gerado por esse elemento é dado pela Lei de Coulomb:
dE = ke , dqr^2 = ke , lambda , dxr^2
onde ke = 8,99 times 10^9 , N cdot m^2/C^2 e r = 0,5 , m.

Passo 4

Como a linha de carga tem extensão de 1 metro, devemos integrar de x = -0,5 , m a x = +0,5 , m para cobrir toda a linha. No entanto, devido à simetria, podemos simplificar a integração multiplicando o resultado de 0 a 0,5 metros por 2.
E = 2 integral0^0,5 ke , lambda , dx(0,5)^2 = 2 cdot ke , lambda0,25 integral0^0,5 dx

Passo 5

Calculando a integral:
integral0^0,5 dx = 0,5 - 0 = 0,5 , m
Substituindo de volta na expressão do campo elétrico:
E = 2 cdot 8,99 times 10^9 times 2 times 10^-60,25 times 0,5

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores numéricos passo a passo:
Primeiro, calcule o numerador:
8,99 times 10^9 times 2 times 10^-6 = 17,98 times 10^3 , N cdot m^2/C^2
Dividindo por 0,25:
17,98 times 10^30,25 = 71,92 times 10^3 , N/C
Multiplicando por 2 e por 0,5:
2 times 71,92 times 10^3 times 0,5 = 71,92 times 10^3 , N/C
Então, o campo elétrico E é aproximadamente 7,192 times 10^4 , N/C.

Passo 7

Agora que temos o campo elétrico, podemos calcular a força elétrica ( F) sobre a carga de +1 , muC usando a fórmula:
F = q times E
Onde q = 1 times 10^-6 , C.
Substituindo os valores:
F = 1 times 10^-6 times 7,192 times 10^4 = 7,192 times 10^-2 , N

Resposta

A força elétrica exercida sobre a carga de +1 , muC é aproximadamente 7,19 times 10^-2 , N na direção perpendicular à linha de carga.

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