Considere uma partícula de carga q e massa m presa à extremidade de um fio isolante de comprimento l. A outra extremidade do fio está presa ao teto. Suponha que exista nesta região um campo elétrico uniforme, na direção vertical, produzido por um plano infinito com densidade de carga sigma, situado no solo. Determine o período das oscilações deste pêndulo simples para pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio. [?]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta tá pedindo. Temos uma partícula com carga $ q $ e massa $ m $ presa no final de um fio de comprimento $ l $. O outro lado do fio tá fixo no teto. Além disso, tem um campo elétrico uniforme indo na direção vertical, criado por um plano carregado com densidade de carga $ \sigma $ que tá no chão. A gente precisa descobrir o período das oscilações desse pêndulo para movimentos pequenos ao redor da posição de equilíbrio.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica e eletricidade, especificamente as leis de Newton e as propriedades do movimento harmônico simples. Vamos precisar calcular as forças atuantes na partícula, encontrar a posição de equilíbrio e depois analisar as oscilações ao redor dela.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar qual é a intensidade do campo elétrico $ E $ criado por um plano infinito com densidade de carga $ \sigma $.
A fórmula para o campo elétrico criado por um plano infinito é dada por:
E
onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, vamos analisar as forças que atuam na partícula quando ela está na posição de equilíbrio. Há duas forças principais:
  1. Força gravitacional: é a força da gravidade puxando a partícula para baixo, dada por $ F_g = m g $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
  2. Força elétrica: como a partícula tem carga $ q $ e está em um campo elétrico $ E $, a força elétrica é $ F_e = q E $.
Na posição de equilíbrio, essas duas forças devem se equilibrar na direção vertical.

Passo 4

Vamos encontrar a posição de equilíbrio. Considerando que o fio faz um ângulo $ \theta $ com a vertical na posição de equilíbrio, temos o equilíbrio das forças na vertical e na horizontal.
Na direção vertical:
theta
Na direção horizontal:
T costheta = m g + q E
Como a força elétrica atua verticalmente, na verdade não há componente horizontal, então o ângulo $ \theta $ será zero. Isso simplifica o equilíbrio para:
T sintheta = 0
Mas isso só acontece se $ q $ for negativo, pois o campo elétrico está para cima. Vamos então considerar que a partícula está na posição de equilíbrio vertical, sem deslocamento horizontal inicial.

Passo 5

Para pequenas oscilações ao redor da posição de equilíbrio, podemos considerar que o movimento é harmônico simples. A força restauradora vai ser a componente da gravidade que traz a partícula de volta ao equilíbrio.
A força restauradora para um pequeno deslocamento $ x $ é:
x
Seguindo a equação do movimento harmônico simples:
F = -m g xl
Simplificando, temos:
m d^2 xdt^2 = -m gl x
Isso nos mostra que a frequência angular $ \omega $ é $ \sqrt{\frac{g}{l}} $.

Passo 6

Agora, para encontrar o período $ T $ das oscilações, usamos a relação entre o período e a frequência angular:
T

Resposta

O período das oscilações é dado por:
T = 2pi raizlg

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