Considere uma partícula de carga
e massa
presa à extremidade de um fio isolante de comprimento
. A outra extremidade do fio está presa ao teto. Suponha que exista nesta região um campo elétrico uniforme, na direção vertical, produzido por um plano infinito com densidade de carga
, situado no solo. Determine o período das oscilações deste pêndulo simples para pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio. [?]
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta tá pedindo. Temos uma partícula com carga $ q $ e massa $ m $ presa no final de um fio de comprimento $ l $. O outro lado do fio tá fixo no teto. Além disso, tem um campo elétrico uniforme indo na direção vertical, criado por um plano carregado com densidade de carga $ \sigma $ que tá no chão. A gente precisa descobrir o período das oscilações desse pêndulo para movimentos pequenos ao redor da posição de equilíbrio.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica e eletricidade, especificamente as leis de Newton e as propriedades do movimento harmônico simples. Vamos precisar calcular as forças atuantes na partícula, encontrar a posição de equilíbrio e depois analisar as oscilações ao redor dela.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar qual é a intensidade do campo elétrico $ E $ criado por um plano infinito com densidade de carga $ \sigma $.
A fórmula para o campo elétrico criado por um plano infinito é dada por:
onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Agora, vamos analisar as forças que atuam na partícula quando ela está na posição de equilíbrio. Há duas forças principais:
-
Força gravitacional: é a força da gravidade puxando a partícula para baixo, dada por $ F_g = m g $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
-
Força elétrica: como a partícula tem carga $ q $ e está em um campo elétrico $ E $, a força elétrica é $ F_e = q E $.
Na posição de equilíbrio, essas duas forças devem se equilibrar na direção vertical.
Passo 4
Vamos encontrar a posição de equilíbrio. Considerando que o fio faz um ângulo $ \theta $ com a vertical na posição de equilíbrio, temos o equilíbrio das forças na vertical e na horizontal.
Na direção vertical:
Na direção horizontal:
Como a força elétrica atua verticalmente, na verdade não há componente horizontal, então o ângulo $ \theta $ será zero. Isso simplifica o equilíbrio para:
Mas isso só acontece se $ q $ for negativo, pois o campo elétrico está para cima. Vamos então considerar que a partícula está na posição de equilíbrio vertical, sem deslocamento horizontal inicial.
Passo 5
Para pequenas oscilações ao redor da posição de equilíbrio, podemos considerar que o movimento é harmônico simples. A força restauradora vai ser a componente da gravidade que traz a partícula de volta ao equilíbrio.
A força restauradora para um pequeno deslocamento $ x $ é:
Seguindo a equação do movimento harmônico simples:
Simplificando, temos:
Isso nos mostra que a frequência angular $ \omega $ é $ \sqrt{\frac{g}{l}} $.
Passo 6
Agora, para encontrar o período $ T $ das oscilações, usamos a relação entre o período e a frequência angular:
Resposta
O período das oscilações é dado por: