Considere uma carga pontual
e outra
. Mostre, utilizando a definição de trabalho dada por (5), que a energia potencial entre as cargas pontuais separada por uma distância
é dada por (6).
Passo 1
O enunciado dá duas cargas puntuais
e
separadas por uma distância
e pede para mostrar, usando a definição de trabalho dada por
, que a energia potencial entre elas é a expressão
. Ou seja, é preciso demonstrar que, tomando como convenção
,
Informações relevantes fornecidas:
- Duas cargas puntuais
e . - Distância entre elas igual a
. - Relação fundamental que será usada:
, onde é o trabalho realizado pela força elétrica (conservativa) ao deslocar uma carga de uma posição inicial à final.
Não se resolve nada ainda neste passo — apenas organizei o que foi pedido e os dados que temos.
Passo 2
Relembrando a força elétrica entre duas cargas pontuais (lei de Coulomb) e o que significam as quantidades:
- A constante eletrostática é
. Aqui é a permissividade do vácuo. - A força exercida pela carga
sobre , ao longo da linha que une as cargas, tem módulo
onde
é a distância variável entre as cargas ao longo do caminho. O sinal (direção) da força depende dos sinais de
e
, mas para calcular o trabalho consideramos a componente radial
ao longo do eixo que liga as cargas. Para facilitar a escrita usarei a forma com o produto
(assumindo que o sinal já está embutido em
) e escreverei a constante
quando conveniente.
Passo 3
Definição de trabalho que vamos usar e escolha da referência:
- O trabalho realizado pela força elétrica quando a carga
se desloca de uma posição inicial a uma posição final é
onde
é a componente da força na direção do incremento positivo de
(isto é, ao longo do eixo radial crescente).
- A energia potencial está relacionada ao trabalho por
- Convenção usual de referência:
. Para obter queremos e , portanto
Observação sobre sinais: aqui
é a componente da força na direção de aumento de
. Se
for positiva (força apontando para fora) e o limite superior
for menor que
, a integral terá sinal apropriado automaticamente — por isso essa forma é a mais direta e evita confusões.
Passo 4
Colocando a expressão explícita de
na integral:
- Usando
e a expressão da força radial,
- Substituindo na integral para
:
Aqui
é a variável de integração e
são constantes em relação a
.
Passo 5
Calcule a integral passo a passo:
- A integral a resolver é
- Sabendo que
, temos
pois
quando
.
- Assim, multiplicando pelo prefator
(lembrando o sinal da definição de ):
Passo 6
Interpretação e significado físico:
- Chegamos à expressão final
- Observações úteis para a prova e intuição:
- Se
(cargas de mesmo sinal) então : aproximação aumenta a energia armazenada, o campo é repulsivo. - Se
(sinais opostos) então : aproximação libera energia, o campo é atrativo. - A escolha
é convencional e facilita o cálculo; qualquer outra constante seria apenas um deslocamento da energia potencial.
- Se