Considere uma carga pontual q e outra q^{\prime}. Mostre, utilizando a definição de trabalho dada por (5), que a energia potencial entre as cargas pontuais separada por uma distância r é dada por (6).
\begin{gathered} \Delta U=-W \\ \Delta U=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q q^{\prime}}{r} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá duas cargas puntuais q e q' separadas por uma distância r e pede para mostrar, usando a definição de trabalho dada por (5), que a energia potencial entre elas é a expressão (6). Ou seja, é preciso demonstrar que, tomando como convenção U(\infty)=0,
\Delta U = U(r)-U(\infty) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q q'}{r}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Duas cargas puntuais q e q'.
  • Distância entre elas igual a r.
  • Relação fundamental que será usada: \Delta U = -W, onde W é o trabalho realizado pela força elétrica (conservativa) ao deslocar uma carga de uma posição inicial à final.
    Não se resolve nada ainda neste passo — apenas organizei o que foi pedido e os dados que temos.

Passo 2

Relembrando a força elétrica entre duas cargas pontuais (lei de Coulomb) e o que significam as quantidades:
  • A constante eletrostática é \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}. Aqui \epsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • A força exercida pela carga q sobre q', ao longo da linha que une as cargas, tem módulo
F(r')=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{|q\,q'|}{r'^2},
onde r' é a distância variável entre as cargas ao longo do caminho. O sinal (direção) da força depende dos sinais de q e q', mas para calcular o trabalho consideramos a componente radial F_r ao longo do eixo que liga as cargas. Para facilitar a escrita usarei a forma com o produto q q' (assumindo que o sinal já está embutido em q q') e escreverei a constante k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} quando conveniente.

Passo 3

Definição de trabalho que vamos usar e escolha da referência:
  • O trabalho realizado pela força elétrica quando a carga q' se desloca de uma posição inicial r_i a uma posição final r_f é
W=\int_{r_i}^{r_f} F_r(r')\,dr',
onde F_r(r') é a componente da força na direção do incremento positivo de r' (isto é, ao longo do eixo radial crescente).
  • A energia potencial está relacionada ao trabalho por
\Delta U = U(r_f)-U(r_i) = -W.
  • Convenção usual de referência: U(\infty)=0. Para obter U(r) queremos r_i=\infty e r_f=r, portanto
\Delta U = U(r)-U(\infty)=U(r) = -\int_{\infty}^{r} F_r(r')\,dr'.
Observação sobre sinais: aqui F_r(r') é a componente da força na direção de aumento de r'. Se F_r for positiva (força apontando para fora) e o limite superior r for menor que \infty, a integral terá sinal apropriado automaticamente — por isso essa forma é a mais direta e evita confusões.

Passo 4

Colocando a expressão explícita de F_r(r') na integral:
  • Usando k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} e a expressão da força radial,
F_r(r') = k\,\frac{q q'}{r'^{2}}.
  • Substituindo na integral para U(r):
U(r) = -\int_{\infty}^{r} k\,\frac{q q'}{r'^{2}}\,dr'.
Aqui r' é a variável de integração e k,q,q' são constantes em relação a r'.

Passo 5

Calcule a integral passo a passo:
  • A integral a resolver é
\int_{\infty}^{r} \frac{1}{r'^{2}}\,dr'.
  • Sabendo que \dfrac{d}{dr'}\!\left(-\dfrac{1}{r'}\right)=\dfrac{1}{r'^{2}}, temos
\int_{\infty}^{r} \frac{1}{r'^{2}}\,dr' = \left[-\frac{1}{r'}\right]_{\infty}^{r} = -\frac{1}{r} - \bigl(-0\bigr) = -\frac{1}{r},
pois \dfrac{1}{r'}\to 0 quando r'\to\infty.
  • Assim, multiplicando pelo prefator -k q q' (lembrando o sinal da definição de U):
U(r) = -k q q' \cdot \left(-\frac{1}{r}\right) = k\,\frac{q q'}{r}.

Passo 6

Interpretação e significado físico:
  • Chegamos à expressão final
U(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q q'}{r}.
  • Observações úteis para a prova e intuição:
    • Se q q'>0 (cargas de mesmo sinal) então U(r)>0: aproximação aumenta a energia armazenada, o campo é repulsivo.
    • Se q q'<0 (sinais opostos) então U(r)<0: aproximação libera energia, o campo é atrativo.
    • A escolha U(\infty)=0 é convencional e facilita o cálculo; qualquer outra constante seria apenas um deslocamento da energia potencial.

Resposta

\Delta U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q q'}{r}

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