Demonstre as seguintes identidades:
\frac{d}{d t}(\vec{A} \cdot \vec{B})=\left(\frac{d}{d t} \vec{A}\right) \cdot \vec{B}+\vec{A} \cdot\left(\frac{d}{d t} \vec{B}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar a identidade
\frac{d}{d t}(\vec{A}\cdot\vec{B})=\left(\frac{d}{d t}\vec{A}\right)\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\left(\frac{d}{d t}\vec{B}\right).
Informações e hipóteses que vou usar (estão no enunciado implicitamente):
  • \vec{A}(t) e \vec{B}(t) são funções vetoriais de uma variável real t.
  • Todas as componentes de \vec{A} e \vec{B} são diferenciáveis em t (logo as derivadas existem).
  • A operação \cdot é o produto escalar usual (interno) entre vetores.
    Nada mais é pedido além de provar a igualdade acima.

Passo 2

Definições e lembretes úteis (vamos mastigar tudo):
  • Escreverei \vec{A}(t)=(A_1(t),A_2(t),\dots,A_n(t)) e \vec{B}(t)=(B_1(t),B_2(t),\dots,B_n(t)). Aqui n pode ser 2, 3 ou qualquer inteiro positivo; a demonstração vale em dimensão n.
  • Produto escalar componente a componente:
\vec{A}(t)\cdot\vec{B}(t)=\sum_{i=1}^n A_i(t)\,B_i(t).
  • Derivada de uma soma de funções escalares é a soma das derivadas (linearidade da derivada):
\frac{d}{dt}\left(\sum_{i} f_i(t)\right)=\sum_{i}\frac{d}{dt}f_i(t).
  • Regra do produto para funções escalares (vamos provar rapidamente porque é essencial): se f(t) e g(t) são diferenciáveis, então
\frac{d}{dt}\big(f(t)g(t)\big)=f'(t)g(t)+f(t)g'(t).

Passo 3

Demonstração da regra do produto para escalares (prova via limite, passo a passo):
Começamos pela definição da derivada:
\frac{d}{dt}\big(f(t)g(t)\big)=\lim_{h\to0}\frac{f(t+h)g(t+h)-f(t)g(t)}{h}.
Agora adicionamos e subtraímos f(t+h)g(t) dentro do numerador para separar termos:
f(t+h)g(t+h)-f(t)g(t)=\big(f(t+h)g(t+h)-f(t+h)g(t)\big)+\big(f(t+h)g(t)-f(t)g(t)\big).
Dividindo por h e reescrevendo:
\frac{f(t+h)g(t+h)-f(t)g(t)}{h}=\underbrace{f(t+h)\frac{g(t+h)-g(t)}{h}}_{(1)}+\underbrace{\frac{f(t+h)-f(t)}{h}g(t)}_{(2)}.
Tomando limite h\to0:
  • No termo (1): f(t+h)\to f(t) e \frac{g(t+h)-g(t)}{h}\to g'(t), então o limite de (1) é f(t)g'(t).
  • No termo (2): \frac{f(t+h)-f(t)}{h}\to f'(t) e g(t) é constante em relação a h, então o limite de (2) é f'(t)g(t).
    Assim
\frac{d}{dt}\big(f(t)g(t)\big)=f'(t)g(t)+f(t)g'(t),
como queríamos. (Essa é a regra do produto para escalares.)

Passo 4

Prova componente a componente da identidade vetorial (aplicando o que já estabelecemos):
Começamos usando a expressão do produto escalar por componentes:
\vec{A}(t)\cdot\vec{B}(t)=\sum_{i=1}^n A_i(t)B_i(t).
Derivando ambos os lados e usando a linearidade da derivada (derivada da soma é soma das derivadas):
\frac{d}{dt}\big(\vec{A}\cdot\vec{B}\big)=\sum_{i=1}^n \frac{d}{dt}\big(A_i(t)B_i(t)\big).
Agora aplicamos a regra do produto para cada termo escalar A_i(t)B_i(t) (Passo 3):
\frac{d}{dt}\big(A_i B_i\big)=A_i'\,B_i + A_i\,B_i',
onde A_i'=\dfrac{dA_i}{dt} e B_i'=\dfrac{dB_i}{dt}. Substituindo na soma:
\frac{d}{dt}\big(\vec{A}\cdot\vec{B}\big)=\sum_{i=1}^n \big(A_i'B_i + A_iB_i'\big).
Separando as somas:
\frac{d}{dt}\big(\vec{A}\cdot\vec{B}\big)=\sum_{i=1}^n A_i'B_i + \sum_{i=1}^n A_iB_i'.
Mas as somas são exatamente os produtos escalares:
\sum_{i=1}^n A_i'B_i=\left(\frac{d}{dt}\vec{A}\right)\cdot\vec{B}, \qquad \sum_{i=1}^n A_iB_i'=\vec{A}\cdot\left(\frac{d}{dt}\vec{B}\right).
Portanto chegamos à identidade desejada:
\frac{d}{dt}\big(\vec{A}\cdot\vec{B}\big)=\left(\frac{d}{dt}\vec{A}\right)\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\left(\frac{d}{dt}\vec{B}\right).

Passo 5

Prova alternativa, sem decompor em componentes (expansão direta, mais elegante para entender a ideia):
Defina \varphi(t)=\vec{A}(t)\cdot\vec{B}(t). Pela definição de derivada:
\frac{d\varphi}{dt}=\lim_{h\to0}\frac{\vec{A}(t+h)\cdot\vec{B}(t+h)-\vec{A}(t)\cdot\vec{B}(t)}{h}.
Adiciona-se e subtrai-se \vec{A}(t+h)\cdot\vec{B}(t):
\vec{A}(t+h)\cdot\vec{B}(t+h)-\vec{A}(t)\cdot\vec{B}(t)=\vec{A}(t+h)\cdot\big(\vec{B}(t+h)-\vec{B}(t)\big)+\big(\vec{A}(t+h)-\vec{A}(t)\big)\cdot\vec{B}(t).
Dividindo por h e tomando limite h\to0, usando continuidade de \vec{A} e \vec{B} e definindo \vec{A}'(t) e \vec{B}'(t), obtém-se
\frac{d}{dt}\big(\vec{A}\cdot\vec{B}\big)=\vec{A}(t)\cdot\vec{B}'(t)+\vec{A}'(t)\cdot\vec{B}(t),
que reescrevendo fica exatamente
\frac{d}{dt}\big(\vec{A}\cdot\vec{B}\big)=\left(\frac{d}{dt}\vec{A}\right)\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\left(\frac{d}{dt}\vec{B}\right).
Essa forma evita índices e deixa claro que a propriedade vem de bilinearidade do produto escalar e linearidade do limite.

Passo 6

Observações finais e dicas para a prova (ânimo!):
  • A prova por componentes é mecânica e segura: expresse o produto escalar como soma de produtos escalares escalares e aplique a regra do produto em cada componente.
  • A prova sem componentes é curta e elegante; serve bem se a pergunta for conceitual.
  • Em prova, comece sempre listando as hipóteses: as componentes devem ser diferenciáveis. Se isso não estiver claro no enunciado, diga que assume diferenciabilidade.
  • Não esqueça de justificar a troca de limite e soma (uso de continuidade e existência das derivadas) — normalmente aceito sem detalhes em provas de graduação, mas vale mencionar.
  • Força aí: pratica umas duas vezes escrevendo a prova a mão que fica na cabeça!

Resposta

\frac{d}{d t}(\vec{A}\cdot\vec{B})=\left(\frac{d}{d t}\vec{A}\right)\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\left(\frac{d}{d t}\vec{B}\right)

Exercícios relacionados