Informações e hipóteses que vou usar (estão no enunciado implicitamente):
\vec{A}(t) e \vec{B}(t) são funções vetoriais de uma variável real t.
Todas as componentes de \vec{A} e \vec{B} são diferenciáveis em t (logo as derivadas existem).
A operação \cdot é o produto escalar usual (interno) entre vetores.
Nada mais é pedido além de provar a igualdade acima.
Passo 2
Definições e lembretes úteis (vamos mastigar tudo):
Escreverei \vec{A}(t)=(A_1(t),A_2(t),\dots,A_n(t)) e \vec{B}(t)=(B_1(t),B_2(t),\dots,B_n(t)). Aqui n pode ser 2, 3 ou qualquer inteiro positivo; a demonstração vale em dimensão n.
como queríamos. (Essa é a regra do produto para escalares.)
Passo 4
Prova componente a componente da identidade vetorial (aplicando o que já estabelecemos):
Começamos usando a expressão do produto escalar por componentes:
Prova alternativa, sem decompor em componentes (expansão direta, mais elegante para entender a ideia):
Defina \varphi(t)=\vec{A}(t)\cdot\vec{B}(t). Pela definição de derivada:
Essa forma evita índices e deixa claro que a propriedade vem de bilinearidade do produto escalar e linearidade do limite.
Passo 6
Observações finais e dicas para a prova (ânimo!):
A prova por componentes é mecânica e segura: expresse o produto escalar como soma de produtos escalares escalares e aplique a regra do produto em cada componente.
A prova sem componentes é curta e elegante; serve bem se a pergunta for conceitual.
Em prova, comece sempre listando as hipóteses: as componentes devem ser diferenciáveis. Se isso não estiver claro no enunciado, diga que assume diferenciabilidade.
Não esqueça de justificar a troca de limite e soma (uso de continuidade e existência das derivadas) — normalmente aceito sem detalhes em provas de graduação, mas vale mencionar.
Força aí: pratica umas duas vezes escrevendo a prova a mão que fica na cabeça!