Um oscilador amortecido satisfaz a equação (5.24), onde
é a força de amortecimento. Determine a taxa de variação da energia
(por derivação direta) e, com auxílio de (5.24), mostre que
é (menos) a taxa pela qual a energia é dissipada por
.
Dados:
Dados:
Passo 1
O enunciado diz que temos um oscilador amortecido cuja equação de movimento é
com força de amortecimento
por derivação direta e, usando a equação acima, mostrar que
é justamente (com sinal negativo) a potência dissipada por
Conteúdo: derivada de funções, regra do produto, potência (trabalho por unidade de tempo).
Passo 2
Vamos derivar
em relação a
. Como
é soma de duas parcelas, derivamos cada uma:
- Para
, aplicamos a regra da cadeia:
$$\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac12,m\dot x^2\Bigr)
= m,\dot x,\ddot x.
\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac12,k,x^2\Bigr)
= k,x,\dot x.
\frac{dE}{dt}=m,\dot x,\ddot x + k,x,\dot x.$$
Passo 3
Agora fatoramos
:
Mas a equação de movimento diz que
Substituindo,
Resposta
ou seja, a energia do oscilador decresce justamente à taxa