Um oscilador amortecido satisfaz a equação (5.24), onde F am =-b dotx é a força de amortecimento. Determine a taxa de variação da energia E=12 m dotx+12 k x^2 (por derivação direta) e, com auxílio de (5.24), mostre que d E / d t é (menos) a taxa pela qual a energia é dissipada por F am .
Dados:
m ddotx+b dotx+k x=0

Passo 1

O enunciado diz que temos um oscilador amortecido cuja equação de movimento é
mddot x + bdot x + kx = 0
com força de amortecimento Frm am=-bdot x. Precisamos calcular a taxa de variação da energia
E=12,mdot x^2+12,k,x^2
por derivação direta e, usando a equação acima, mostrar que
dEdt
é justamente (com sinal negativo) a potência dissipada por Frm am.
Conteúdo: derivada de funções, regra do produto, potência (trabalho por unidade de tempo).

Passo 2

Vamos derivar E em relação a t. Como E é soma de duas parcelas, derivamos cada uma:
  1. Para tfrac12,mdot x^2, aplicamos a regra da cadeia:
$$\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac12,m\dot x^2\Bigr)
= m,\dot x,\ddot x. ddtl(tfrac12,mdot x^2r) = m,dot x,ddot xé\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac12,k,x^2\Bigr)
= k,x,\dot x. tfrac12,k,x^2\frac{dE}{dt}=m,\dot x,\ddot x + k,x,\dot x.$$

Passo 3

Agora fatoramos dot x:
dEdt=dot x,(m,ddot x + k,x)
Mas a equação de movimento diz que
m,ddot x + k,x = -,b,dot x
Substituindo,
dEdt=dot x;(-b,dot x)=-,b,dot x^2

Resposta

boxeddEdt=-,b,dot x^2,
ou seja, a energia do oscilador decresce justamente à taxa bdot x^2, que é a potência dissipada pelo amortecimento ( Frm am,dot x=-bdot x^2).

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