Considere uma casca cilíndrica de comprimento L, raio interno r1 e raio externo r2. A superfície externa da casca é isolada e a superfície interna está exposta ao escoamento um fluido refrigerante com temperatura Tinfty, e coeficiente de transferência de calor por convecção h. O fluido está passando por um processo de evaporação em virtude da taxa volumétrica de energia que é gerada uniformemente na casca, doteg, ser transferida para o fluido. Admitindo um processo em regime permanente, obtenha relação para:
a) Distribuição de temperatura, fluxo de calor e a taxa de transferência de calor que entram no fluido;
b) Se o raio interno e externo do cilindro forem, respectivamente, 200 mm e 150 mm , e o comprimento de 1 m . Qual deve ser a taxa volumétrica de geração de energia para garantir que o fluido R-134a à 1017 kPa entre como líquido saturado na tubulação e deixe-a como vapor saturado? Considere h= 5.000 W /(m^2 K).

Passo 1

O enunciado descreve uma casca cilíndrica de comprimento L, raio interno r1 e raio externo r2. A parede gera calor volumetricamente à taxa dot eg (W/ m^3). Em regime permanente, a superfície externa ( r=r2) é perfeitamente isolada e a interna ( r=r1) está submetida a convecção com coeficiente h e fluido a Tinfty.
Conteúdo: condução térmica radial com geração volumétrica e condição de contorno convectiva.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial de condução estacionária, cilindríca, com geração uniforme e condutividade k:
1rddr!l(r,k,dTdrr)+dot eg=0
Integrando uma vez em r:
r,k,dTdr=-dot eg2,r^2+C1 Longrightarrow dTdr=-dot eg2k,r+C1k,r
Integramos de novo para obter T(r):
T(r)=-dot eg4k,r^2+C1kln r +C2

Passo 3

Impondo as condições de contorno:
(i) r=r2, superfície isolada l(dT/drr)r2=0
0=-dot eg2k,r2+C1k,r2 Longrightarrow C1=dot eg2,r2^2
(ii) r=r1, convecção interna
-kdTdr|r1 =hl[T(r1)-Tinftyr]
Substituindo dT/dr e C1:
-!k!l(-dot eg2kr1+dot egr2^22k,r1r) =hl[T(r1)-Tinftyr] ;Longrightarrow; hl[T(r1)-Tinftyr] =dot eg2r2^2-r1^2r1
Daí obtemos C2, mas o que interessa é a distribuição final.

Passo 4

Reescrevendo T(r) com as constantes encontradas:
T(r) =-dot eg4kr^2 +dot egr2^22kln r + C2,
onde C2 ajusta T(r1) de modo a satisfazer a convecção.
O fluxo de calor convectivo por unidade de área interna é
q''!r1 =-kdTdr|r1 =dot eg2,r2^2-r1^2r1
A taxa total de calor que entra no fluido (por comprimento L) vale
Q =q''!r1,(2pi r1L) =dot eg,pi,(r2^2-r1^2),L

Passo 5

Resumo das fórmulas finais:
boxed T(r) =-dot eg4kr^2 +dot egr2^22kln r + C2, boxed q''!r1 =dot eg2,r2^2-r1^2r1, boxed Q =dot eg,pi,(r2^2-r1^2),L

Passo 6

Para evaporar totalmente o fluido de massa mássica dot m a uma pressão de 1017 kPa, a potência exigida é
Q ;=;dot m;hfg,
onde hfg é o calor latente de vaporização do R- 134a nessa pressão.
Igualando ao calor gerado:
dot eg,pi,(r2^2-r1^2),L =dot m,hfg Longrightarrow boxed dot eg =dot m,hfgpi,(r2^2-r1^2),L
Para um dado fluxo mássico dot m e com r1=0,15 m, r2=0,20 m, L=1 m e, por exemplo, hfgapprox2,1times10^5 J/kg, basta substituir para obter dot eg.

Resposta

a)
T(r) =-dot eg4kr^2 +dot egr2^22kln r + C2, q''!r1 =dot eg2,r2^2-r1^2r1, Q =dot eg,pi,(r2^2-r1^2),L
b)
dot eg =dot m,hfgpi,(r2^2-r1^2),L
(Substituindo dot m, hfg, r1=0,15 m, r2=0,20 m e L=1 m obtém-se o valor numérico de dot eg.)

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