Uma placa plana de espessura 2 L tendo a temperatura inicial uniforme T0 é mergulhada de repente um banho quente com temperatura constante Tinfty. O coeficiente de transferência de calor é h. A massa específica, o calor especifico e a condutividade térmica da placa são, rho, cp e k, respectivamente, Formule o problema e escreva as condições de contorno.

Passo 1

O enunciado descreve um problema de condução transiente de calor unidimensional em uma placa plana de espessura total 2L, inicialmente à temperatura uniforme T0, que a partir de t=0 fica imersa num banho à temperatura constante Tinfty com coeficiente convectivo h. Vamos modelar a evolução da temperatura T(x,t) no interior da placa usando a equação de calor e impor as condições iniciais e de contorno adequadas.

Passo 2

Escolhemos o sistema de coordenadas com o eixo x apontando do plano médio até uma das faces, de modo que x=0 é o plano de simetria e x=L a face exposta ao banho. A equação de calor transiente unidimensional é
partial Tpartial t = alpha partial^2Tpartial x^2,
onde
alpha = krho,cp
é a difusividade térmica. O domínio espacial é
0 <= x <= L, t>0

Passo 3

A condição inicial, em t=0, a placa está à temperatura uniforme T0, isto é,
T(x,0) = T0, 0 <= x <= L

Passo 4

Temos duas condições de contorno:
  1. Simetria no plano médio ( x=0), o fluxo de calor é nulo, logo
partial Tpartial x|x=0 = 0, t>0
  1. Convecção na face exposta ( x=L), dado pelo balanço de Fourier e Newton:
-,kpartial Tpartial x|x=L = hl[T(L,t)-Tinftyr], t>0

Resposta

O problema de valor inicial e de contorno é:
partial Tpartial t = krho,cp partial^2Tpartial x^2, 0<x<L,;t>0,
T(x,0)=T0, 0<= x<= L,
partial Tpartial x|x=0=0, -,kpartial Tpartial x|x=L = hl[T(L,t)-Tinftyr]

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