Um próton \mathrm{P}( carga =\mathrm{e}, massa =\mathrm{m}) e uma partícula \alpha (carga =2 \mathrm{e}, massa =4 \mathrm{~m} ) são acelerados separadamente no vácuo, a partir do repouso, através da mesma DDP (diferença de potencial elétrico). Considerando que, tanto no caso do próton quanto no caso do elétron, o trabalho da força elétrica resulta na variação da energia cinética de cada partícula, mostre que
\frac{v_{P}}{v_{\alpha}}=\sqrt{2}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (todas retiradas do enunciado):
  • Uma partícula próton \mathrm{P} tem carga \mathrm{e} e massa m. Ou seja, q_P=\mathrm{e} e m_P=m.
  • Uma partícula \alpha tem carga 2\mathrm{e} e massa 4m. Ou seja, q_\alpha=2\mathrm{e} e m_\alpha=4m.
  • Ambas são aceleradas no vácuo, a partir do repouso, através da mesma diferença de potencial elétrico (DDP). Denotemos essa DDP por \Delta V (valor absoluto da diferença de potencial).
  • O enunciado diz que o trabalho da força elétrica resulta na variação da energia cinética de cada partícula (energia potencial elétrica convertida em energia cinética).
O que o problema pede:
  • Mostrar que \dfrac{v_{P}}{v_{\alpha}}=\sqrt{2}, onde v_P é a velocidade final do próton e v_\alpha é a velocidade final da partícula \alpha.

Passo 2

Vamos relacionar a DDP com a energia cinética final usando conservação de energia (ou o fato dito no enunciado). A ideia física: ao ser acelerada por um campo elétrico, a partícula perde energia potencial elétrica e ganha energia cinética. Para uma partícula de carga q que atravessa uma diferença de potencial \Delta V (considerando o módulo), a energia fornecida pela força elétrica é
q\,\Delta V.
Se a partícula parte do repouso, sua energia cinética final \tfrac{1}{2} m v^2 vem inteiramente desse trabalho, portanto vale a equação
\frac{1}{2} m v^2 = q\,\Delta V.
Explicando cada símbolo:
  • \tfrac{1}{2} m v^2 é a energia cinética final da partícula (com m a massa e v a velocidade final).
  • q é a carga da partícula (no SI, em coulombs; aqui usamos \mathrm{e} como a carga elemental).
  • \Delta V é a diferença de potencial (em volts).
    Essa fórmula é válida para as magnitudes das grandezas quando se considera a energia fornecida pela queda de potencial que acelera a partícula.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao próton ( q_P=\mathrm{e}, m_P=m) e como parte do repouso, obtemos
\frac{1}{2} m v_{P}^{2} = \mathrm{e}\,\Delta V.
Isolando v_{P}:
v_{P} = \sqrt{\frac{2\mathrm{e}\,\Delta V}{m}}.

Passo 4

Agora aplicamos a mesma fórmula à partícula \alpha ( q_\alpha=2\mathrm{e}, m_\alpha=4m):
\frac{1}{2}\,(4m)\,v_{\alpha}^{2} = 2\mathrm{e}\,\Delta V.
Simplificando o lado esquerdo: \tfrac{1}{2}\cdot 4m = 2m, temos
2m\,v_{\alpha}^{2} = 2\mathrm{e}\,\Delta V.
Dividindo ambos os lados por 2m:
v_{\alpha}^{2} = \frac{\mathrm{e}\,\Delta V}{m},
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v_{\alpha} = \sqrt{\frac{\mathrm{e}\,\Delta V}{m}}.

Passo 5

Formamos a razão pedida dividindo v_{P} por v_{\alpha}. Substituindo as expressões obtidas:
\frac{v_{P}}{v_{\alpha}} = \frac{\sqrt{\dfrac{2\mathrm{e}\,\Delta V}{m}}}{\sqrt{\dfrac{\mathrm{e}\,\Delta V}{m}}} = \sqrt{\frac{2\mathrm{e}\,\Delta V}{m}\cdot\frac{m}{\mathrm{e}\,\Delta V}} = \sqrt{2}.
As quantidades \mathrm{e}, \Delta V e m cancelam, sobrando apenas \sqrt{2}.

Passo 6

Interpretação física curta (para fixar a ideia): a velocidade final depende da razão carga/masa q/m segundo v\propto\sqrt{q/m}. Para o próton q/m=\mathrm{e}/m e para o \alpha q/m=(2\mathrm{e})/(4m)=\mathrm{e}/(2m), ou seja, o próton tem o dobro de q/m do \alpha; portanto sua velocidade final é \sqrt{2} vezes maior.

Resposta

\sqrt{2}

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