Um próton
carga
, massa
e uma partícula
(carga
, massa
) são acelerados separadamente no vácuo, a partir do repouso, através da mesma DDP (diferença de potencial elétrico). Considerando que, tanto no caso do próton quanto no caso do elétron, o trabalho da força elétrica resulta na variação da energia cinética de cada partícula, mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (todas retiradas do enunciado):
- Uma partícula próton
tem carga e massa . Ou seja, e . - Uma partícula
tem carga e massa . Ou seja, e . - Ambas são aceleradas no vácuo, a partir do repouso, através da mesma diferença de potencial elétrico (DDP). Denotemos essa DDP por
(valor absoluto da diferença de potencial). - O enunciado diz que o trabalho da força elétrica resulta na variação da energia cinética de cada partícula (energia potencial elétrica convertida em energia cinética).
O que o problema pede:
- Mostrar que
, onde é a velocidade final do próton e é a velocidade final da partícula .
Passo 2
Vamos relacionar a DDP com a energia cinética final usando conservação de energia (ou o fato dito no enunciado). A ideia física: ao ser acelerada por um campo elétrico, a partícula perde energia potencial elétrica e ganha energia cinética. Para uma partícula de carga
que atravessa uma diferença de potencial
(considerando o módulo), a energia fornecida pela força elétrica é
Se a partícula parte do repouso, sua energia cinética final
vem inteiramente desse trabalho, portanto vale a equação
Explicando cada símbolo:
-
é a energia cinética final da partícula (com a massa e a velocidade final). -
é a carga da partícula (no SI, em coulombs; aqui usamos como a carga elemental). -
é a diferença de potencial (em volts).
Essa fórmula é válida para as magnitudes das grandezas quando se considera a energia fornecida pela queda de potencial que acelera a partícula.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao próton (
,
) e como parte do repouso, obtemos
Isolando
:
Passo 4
Agora aplicamos a mesma fórmula à partícula
(
,
):
Simplificando o lado esquerdo:
, temos
Dividindo ambos os lados por
:
logo
Passo 5
Formamos a razão pedida dividindo
por
. Substituindo as expressões obtidas:
As quantidades
,
e
cancelam, sobrando apenas
.
Passo 6
Interpretação física curta (para fixar a ideia): a velocidade final depende da razão carga/masa
segundo
. Para o próton
e para o
, ou seja, o próton tem o dobro de
do
; portanto sua velocidade final é
vezes maior.