Considere uma casca esférica de raio interno R1 e externo R2, de material isolante, uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga rho.
calcular o potencial elétrico em todo o espaço, para pontos P(r) com:
R1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Física sobre eletrostática. O enunciado fala de uma casca esférica com raio interno $ R_1 $ e externo $ R_2 $, feita de um material isolante e com uma densidade de carga volumétrica uniforme $ \rho $. A tarefa é calcular o potencial elétrico $ V® $ em pontos $ P® $ onde $ R_1 < r < R_2 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e potencial elétrico, além da Lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a densidade volumétrica de carga $ \rho $. Ela indica quanto de carga elétrica está presente por unidade de volume no material isolante. Como a casca é esférica e tem uma densidade uniforme, podemos calcular a carga total dentro de uma esfera de raio $ r $ usando essa densidade.

Passo 3

Usaremos a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico $ E® $ dentro da casca ($ R_1 < r < R_2 $). A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo $ \varepsilon_0 $:
E(r)
Como a simetria é esférica, o campo elétrico $ E® $ será radial e igual em magnitude em todos os pontos a uma mesma distância $ r $ do centro.

Passo 4

Vamos calcular a carga interna $ Q_{interno} $ para $ R_1 < r < R_2 $. A carga total dentro de um raio $ r $ é a densidade de carga $ \rho $ multiplicada pelo volume da parte da casca até $ r $:
Qinterno
O volume da casca esférica até $ r $ é dado por:
R1 < r < R2
Então:
r

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
E(r) times 4pi r^2 = Qinternovarepsilon0
Substituindo $ Q_{interno} $:
Qinterno
Simplificando:
E(r) times 4pi r^2 = 43pi rho (r^3 - R1^3)varepsilon0

Passo 6

Com o campo elétrico $ E® $ conhecido, podemos encontrar o potencial elétrico $ V® $ integrando o campo:
E(r)
Escolhemos $ V(r_0) = 0 $ em um ponto de referência, por exemplo, no infinito. Mas como estamos dentro da casca, vamos integrar a partir de algum ponto conhecido, digamos $ R_2 $, onde o potencial pode ser calculado separadamente.

Passo 7

Integrando $ E® $:
E(r)
Isso resulta em:
V(r) = -integralR2^r rho (r' - R1^3r'^2)3varepsilon0 dr'
Calculando a integral:
V(r) = -rho3varepsilon0 ( 12r'^2 + R1^3r' ) g|R2^r

Resposta

Então, o potencial elétrico para pontos $ R_1 < r < R_2 $ é:
R1 < r < R2

Exercícios relacionados