Considere uma casca esférica de raio interno
e externo
, de material isolante, uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga
.
calcular o potencial elétrico em todo o espaço, para pontos
com:
calcular o potencial elétrico em todo o espaço, para pontos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Física sobre eletrostática. O enunciado fala de uma casca esférica com raio interno $ R_1 $ e externo $ R_2 $, feita de um material isolante e com uma densidade de carga volumétrica uniforme $ \rho $. A tarefa é calcular o potencial elétrico $ V® $ em pontos $ P® $ onde $ R_1 < r < R_2 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e potencial elétrico, além da Lei de Gauss.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a densidade volumétrica de carga $ \rho $. Ela indica quanto de carga elétrica está presente por unidade de volume no material isolante. Como a casca é esférica e tem uma densidade uniforme, podemos calcular a carga total dentro de uma esfera de raio $ r $ usando essa densidade.
Passo 3
Usaremos a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico $ E® $ dentro da casca ($ R_1 < r < R_2 $). A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo $ \varepsilon_0 $:
Como a simetria é esférica, o campo elétrico $ E® $ será radial e igual em magnitude em todos os pontos a uma mesma distância $ r $ do centro.
Passo 4
Vamos calcular a carga interna $ Q_{interno} $ para $ R_1 < r < R_2 $. A carga total dentro de um raio $ r $ é a densidade de carga $ \rho $ multiplicada pelo volume da parte da casca até $ r $:
O volume da casca esférica até $ r $ é dado por:
Então:
Passo 5
Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
Substituindo $ Q_{interno} $:
Simplificando:
Passo 6
Com o campo elétrico $ E® $ conhecido, podemos encontrar o potencial elétrico $ V® $ integrando o campo:
Escolhemos $ V(r_0) = 0 $ em um ponto de referência, por exemplo, no infinito. Mas como estamos dentro da casca, vamos integrar a partir de algum ponto conhecido, digamos $ R_2 $, onde o potencial pode ser calculado separadamente.
Passo 7
Integrando $ E® $:
Isso resulta em:
Calculando a integral:
Resposta
Então, o potencial elétrico para pontos $ R_1 < r < R_2 $ é: