Um gás ideal sofre uma compressão adiabática de pi=1,0 atm, Vi=1,0 times 10^6 L, Ti= 0^circ C para pf=1,0 times 10^5 atm, Vf=163 L. (a) Qual a razão entre calores específicos à pressão e a volume constante? (b) Qual o valor de sua temperatura final?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um gás ideal que sofre uma compressão adiabática. Isso significa que não tem troca de calor com o ambiente durante o processo. A gente precisa resolver duas partes:
(a) Encontrar a razão entre os calores específicos à pressão ( Cp) e ao volume constante ( Cv).
(b) Descobrir a temperatura final do gás após a compressão.
Para isso, vamos usar as leis dos gases ideais e as relações da termodinâmica para processos adiabáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é compressão adiabática. Nessa situação, a pressão, o volume e a temperatura do gás mudam, mas não há transferência de calor. A relação que descreve esse processo é:
pi cdot Vi^gamma = pf cdot Vf^gamma
Onde gamma = CpCv é a razão dos calores específicos que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos organizar os valores que já temos:
  • Pressão inicial, pi = 1,0 , atm
  • Volume inicial, Vi = 1,0 times 10^6 , L
  • Temperatura inicial, Ti = 0^circ C = 273 , K (convertendo para Kelvin)
  • Pressão final, pf = 1,0 times 10^5 , atm
  • Volume final, Vf = 163 , L

Passo 4

Vamos usar a relação adiabática para encontrar gamma. A equação é:
pi cdot Vi^gamma = pf cdot Vf^gamma
Dividindo os dois lados por pi, temos:
Vi^gamma = pfpi cdot Vf^gamma
Para resolver para gamma, vamos reorganizar:
( ViVf )^gamma = pfpi
Tomando o logaritmo dos dois lados:
gamma cdot ln( ViVf ) = ln( pfpi )
Então:
gamma = ln( pfpi )ln( ViVf )

Passo 5

Vamos substituir os valores:
gamma = ln( 1,0 times 10^51,0 )ln( 1,0 times 10^6163 )
Calculando os logaritmos:
gamma = ln(1,0 times 10^5)ln( 1,0 times 10^6163 )
gamma = 11,5129255ln(6135,638) approx 8,722
gamma approx 11,51292558,722 approx 1,32

Passo 6

Agora que temos gamma, podemos passar para a parte (b) e encontrar a temperatura final Tf. A relação para temperatura em um processo adiabático é:
Ti cdot Vi^gamma-1 = Tf cdot Vf^gamma-1
Rearranjando para Tf:
Tf = Ti cdot ( ViVf )^gamma-1

Passo 7

Substituindo os valores:
Tf = 273 , K cdot ( 1,0 times 10^6163 )^1,32 - 1
Calculando o expoente:
1,32 - 1 = 0,32
Tf = 273 cdot ( 6135,638 )^0,32
Calculando a potência:
( 6135,638 )^0,32 approx 10
Tf approx 273 cdot 10 = 2730 , K

Resposta

(a) A razão entre os calores específicos é gamma approx 1,32.
(b) A temperatura final do gás é aproximadamente 2730 , K.

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