Considere uma casca esférica com raio interno a e raio externo b, carregada com desidade não uniforme de carga \rho=\gamma / r, onde \gamma é uma constante e r é a distância ao centro. Calcule o módulo do campo elétrico para
r<a

Passo 1

O enunciado trata de uma casca esférica com raio interno a e externo b, carregada segundo a densidade volumétrica
\rho(r)=\frac{\gamma}{r},
onde \gamma é constante e r a distância ao centro. Queremos o campo elétrico para r<a. O método a usar é a Lei de Gauss, aproveitando a simetria esférica.

Passo 2

Por simetria esférica, o campo elétrico em módulo só depende de r e é radial. Tomamos uma superfície gaussiana esférica de raio r<a. Nela
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,4\pi r^2.

Passo 3

Para r<a, toda a região interna à superfície gaussiana está vazia de carga, pois ρ só existe para a\le r\le b. Logo a carga total envolvida é
Q_{\mathrm{int}}=\int_{0}^{r}\rho(r')\,dV=0.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss,
E(r)\,4\pi r^2=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}=0
e, portanto,
E(r)=0\quad\text{para }r<a.

Resposta

Para r<a temos
E(r)=0.

Exercícios relacionados