Uma pedra de massa m, presa na extremidade de um barbante, é girada fazendo um círculo vertical de raio R. Determine o valor da velocidade crítica abaixo da qual a corda ficará frouxa no ponto mais alto da trajetória.

Passo 1

Resumo do enunciado: uma pedra de massa m presa a um barbante de comprimento R descreve um círculo vertical completo. Queremos a velocidade mínima, medida no ponto mais baixo, abaixo da qual a corda ficará frouxa justamente no ponto mais alto.
Conteúdo: usar conservação de energia para relacionar as velocidades nos pontos mais baixo e mais alto e aplicar a segunda lei de Newton na direção radial para exigir tensão não-negativa.

Passo 2

Use conservação de energia entre o ponto mais baixo (velocidade v_0) e o ponto mais alto (velocidade v_{\rm topo}). A pedra sobe uma altura de 2R, logo
\frac12 m v_0^2 = \frac12 m v_{\rm topo}^2 + m g\,(2R).
Isolando v_{\rm topo}^2:
v_{\rm topo}^2 = v_0^2 - 4gR.

Passo 3

No ponto mais alto, as forças na direção radial são a tensão T no barbante, apontando para o centro, e o peso mg, apontando para baixo (ou seja, para fora do centro). Pela segunda lei de Newton radial:
\sum F_r = m\,\frac{v_{\rm topo}^2}{R} \quad\Longrightarrow\quad T - m g = -\,m\,\frac{v_{\rm topo}^2}{R}.
Reescrevendo para T:
T = m\Bigl(\frac{v_{\rm topo}^2}{R} - g\Bigr).

Passo 4

Para a corda não ficar frouxa, precisamos de T\ge0. Assim
\frac{v_{\rm topo}^2}{R} - g \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad v_{\rm topo}^2 \ge gR.
Substituindo v_{\rm topo}^2 = v_0^2 - 4gR, dá
v_0^2 - 4gR \ge gR \quad\Longrightarrow\quad v_0^2 \ge 5gR.

Resposta

\displaystyle v_{\rm crítica} = \sqrt{5gR}í

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