Considere uma casca esférica com raio interno a e raio externo b, carregada com desidade não uniforme de carga \rho=\gamma / r, onde \gamma é uma constante e r é a distância ao centro. Calcule o módulo do campo elétrico para
a<r<b

Passo 1

O enunciado descreve uma casca esférica com raio interno a e raio externo b, carregada com densidade volumétrica não uniforme
\rho(r)=\frac{\gamma}{r}
onde \gamma é constante. Queremos o módulo do campo elétrico em um ponto radial r tal que a<r<b.
Conteúdo usado: simetria esférica e Lei de Gauss.

Passo 2

Para usar Gauss, calculamos a carga total contida dentro de um raio genérico r (com a<r<b). A carga elementar é
\mathrm{d}Q=\rho(r')\,\mathrm{d}V=\frac{\gamma}{r'}\;4\pi r'^{2}\,\mathrm{d}r'=4\pi\gamma\,r'\,\mathrm{d}r'.
Integrando de r'=a até r'=r obtemos a carga encerrada:
Q_{\text{enc}}(r)=\int_{a}^{r}4\pi\gamma\,r'\,\mathrm{d}r' =4\pi\gamma\left[\frac{r'^{2}}{2}\right]_{a}^{r} =2\pi\gamma\bigl(r^{2}-a^{2}\bigr).

Passo 3

Aplicamos a Lei de Gauss para uma superfície esférica de raio r:
\oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A} =E(r)\,4\pi r^{2} =\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\varepsilon_{0}} =\frac{2\pi\gamma\bigl(r^{2}-a^{2}\bigr)}{\varepsilon_{0}}.

Passo 4

Isolando E(r) na expressão acima, obtemos
E(r) =\frac{1}{4\pi r^{2}}\;\frac{2\pi\gamma\bigl(r^{2}-a^{2}\bigr)}{\varepsilon_{0}} =\frac{\gamma}{2\varepsilon_{0}}\Bigl(1-\frac{a^{2}}{r^{2}}\Bigr).

Resposta

E(r)=\frac{\gamma}{2\varepsilon_{0}}\Bigl(1-\frac{a^{2}}{r^{2}}\Bigr) \quad(a<r<b),
apontando radialmente para fora.

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