Considere dois cilindros condutores concêntricos muito longos. O cilindro mais interno tem raio r_{a} e densidade de carga superficial \sigma_{1}. O cilindro mais externo tem raio r_{b} (com r_{b}>r_{a} ) e densidade de carga superficial \sigma_{2}. Utilizando a lei de Gauss, e a simetria do problema, encontre o campo elétrico para um raio r em cada uma das seguintes condições:
r>r_{b}

Passo 1

Temos dois cilindros condutores concêntricos e muito longos de raios {r_a} e {r_b}, carregados respectivamente com densidades de carga superficial \sigma_1 e \sigma_2. O problema pede o campo elétrico para um ponto situado a um raio r tal que r>r_b. Vamos usar a lei de Gauss numa superfície cilíndrica coaxial, aproveitando a simetria do problema.

Passo 2

Escolhemos como superfície de Gauss um cilindro imaginário de raio r (com r>r_b) e comprimento L. Em virtude da simetria cilíndrica, o campo elétrico \mathbf{E} é radial e de módulo constante ao longo da superfície lateral. A lei de Gauss diz:
\oint_{\text{Gauss}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} \;=\;\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}
Como só a superfície lateral contribui, \oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,(2\pi r L).

Passo 3

A carga total internamente ao cilindro de raio r é a soma das cargas sobre as superfícies dos dois condutores:
Q_{\text{int}} =\sigma_1\,(2\pi r_a L)\;+\;\sigma_2\,(2\pi r_b L) =2\pi L\,\bigl(\sigma_1 r_a+\sigma_2 r_b\bigr).

Passo 4

Substituindo na lei de Gauss:
E(r)\,(2\pi r L) =\frac{2\pi L\,(\sigma_1 r_a+\sigma_2 r_b)}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r) =\frac{\sigma_1 r_a+\sigma_2 r_b}{\varepsilon_0\,r}.
O campo é radial, apontando para fora se \sigma_1 r_a+\sigma_2 r_b>0, ou para dentro no caso contrário.

Resposta

E(r)=\frac{\sigma_1\,r_a+\sigma_2\,r_b}{\varepsilon_0\,r}\;\hat{r}, \quad r>r_b.

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