Considere uma casca esférica de raio R e carga Q distribuída sobre sua superfície conforme a densidade \sigma. A densidade é uniforme. A uma distância r>R do centro da casca, é colocada uma carga pontual q. Considere que a carga pontual é livre para mover-se e que ela é inicialmente solta no local indicado previamente.
(a) Encontre a equação de movimento da carga q.
(b) Encontre a velocidade da partícula como função da distância ao centro da esfera.
(c) Caso q Q<0, encontre o tempo em que a carga pontual alcança a casca.
(d) A energia mecânica do sistema é conservada?
(e) Construa o gráfico da velocidade como função da posição para o caso q Q<0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (assumi que a partícula tem massa m; o enunciado não deu a massa, então vou nomeá-la m porque é necessária para a equação do movimento).
  • Dados do enunciado:
    • Casca esférica de raio R com carga total Q distribuída uniformemente sobre a superfície (densidade superficial constante \sigma).
    • Uma carga pontual q é colocada a uma distância inicial r_0 do centro da casca, com r_0>R. O enunciado diz que a partícula está “solta” nesse ponto — interpretamos isso como “solta a partir do repouso” (velocidade inicial v(r_0)=0).
    • A partícula é livre para mover-se sob a ação elétrica gerada pela casca (assume-se que a casca tem carga fixa Q e está presa no lugar).
  • O que o enunciado pede:
    (a) A equação do movimento da carga q (equação diferencial para r(t)).
    (b) A velocidade v da partícula como função da distância ao centro (isto é, v(r)).
    (c) Para o caso qQ<0 (atração), o tempo que a carga pontual leva para chegar à casca (isto é, tempo para ir de r_0 até R).
    (d) Se a energia mecânica do sistema é conservada.
    (e) Construir (descrever) o gráfico da velocidade em função da posição para qQ<0.
  • Notas úteis que usarei:
    • Constante eletrostática k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}.
    • Pelo teorema de Gauss, fora da casca esférica o campo eletrostático da casca é igual ao de uma carga puntiforme Q concentrada no centro para r>R. Vou usar isso para calcular a força sobre q.
    • Vou trabalhar com coordenada radial r(t) medida a partir do centro da casca, com sinal positivo para afastar do centro.

Passo 2

Campo elétrico fora da casca e força sobre q (aplicando Gauss).
  • Campo elétrico em r>R:
    \mathbf{E}(r)=\frac{kQ}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}},
    onde \hat{\mathbf{r}} é o versor radial (para fora). Esta expressão veio diretamente de que uma casca carregada uniformemente se comporta, fora dela, como carga pontual Q no centro (aplicação do teorema de Gauss).
  • Força elétrica sobre a carga q:
    \mathbf{F}(r)=q\,\mathbf{E}(r)=\frac{k q Q}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}.
    Observação do sinal: se qQ>0 a força é radial para fora (repulsão); se qQ<0 a força é radial para dentro (atração).
  • Equação do movimento (forma escalar radial). Pela segunda lei de Newton, tomando a coordenada radial r(t) positiva para fora,
    m\,\ddot r(t)=\frac{k q Q}{r(t)^{2}}.
    Esta é a equação diferencial de movimento solicitada em (a). Ela já contém o sinal certo: para qQ<0 o lado direito é negativo e \ddot r aponta para dentro.

Passo 3

Explicando energia potencial eletrostática e usando conservação de energia para obter v(r).
  • Energia potencial elétrica entre duas cargas puntiformes (referência U(\infty)=0):
    U(r)=\frac{k q Q}{r}.
    Como fora da casca a casca se comporta como carga pontual Q no centro, essa expressão vale para r>R.
  • Conservação de energia mecânica (ignorando radiação eletromagnética): a energia total (energia cinética da partícula mais energia potencial eletrostática) é constante. Se a partícula parte do repouso em r_0, a energia total E é
    E = \frac{1}{2}m v(r_0)^2 + U(r_0)=0+\frac{k q Q}{r_0}=\frac{k q Q}{r_0}.
  • Para uma posição genérica r durante o movimento:
    \frac{1}{2}m v(r)^2 + \frac{k q Q}{r} = \frac{k q Q}{r_0}.
  • Isolando v(r):
    \frac{1}{2} m v(r)^2 = k q Q\!\left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r}\right).
    Portanto, a velocidade escalar (em módulo) é
    v(r)=\pm\sqrt{\frac{2k q Q}{m}\!\left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r}\right)}.
    Aqui o sinal \pm indica direção (negativo se r diminui, positivo se r aumenta). Em particular, no caso de atração qQ<0 e para R\le r\le r_0 a combinação dentro da raiz é positiva (porque ambos os fatores são negativos, ou escrevendo de forma sempre positiva)
    v(r)=\sqrt{\frac{2|k q Q|}{m}\!\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)},\qquad (qQ<0,\; r\le r_0)
    que é equivalente e mais conveniente quando qQ<0.
  • Comentário didático: esta expressão é uma aplicação direta de conservação de energia: a perda de energia potencial quando o corpo se aproxima do centro transforma-se em energia cinética. Sempre escreva U(r)=kqQ/r e resolva para v a partir de K=E-U(r).

Passo 4

Cálculo do tempo de queda para qQ<0: integral e solução analítica.
Queremos o tempo T que leva para a carga partir de r_0 e alcançar a casca em r=R (assumindo que não há obstáculos até R). Para qQ<0 o movimento é para diminuir r. Tomamos tempo positivo e escrevemos
T=\int_{0}^{T} dt = \int_{r_0}^{R} \frac{dt}{dr}\,dr.
Como dr/dt=-v(r) ( r decresce ), temos dt = -\dfrac{dr}{v(r)} e, trocando os limites para obter ordem crescente:
T=\int_{R}^{r_0}\frac{dr}{v(r)}.
Usamos a forma conveniente para qQ<0:
v(r)=\sqrt{\frac{2|k q Q|}{m}\!\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)}.
Defina a constante
C=\frac{2|k q Q|}{m}>0.
Então
T=\int_{R}^{r_0}\frac{dr}{\sqrt{C\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r_0}\right)}}.
Fazer a mudança de variável u=\dfrac{r}{r_0}. Assim r=r_0 u, dr=r_0 du, e os limites viram u(R)=\dfrac{R}{r_0} e u(r_0)=1. Substituindo:
T=\int_{R/r_0}^{1}\frac{r_0\,du}{\sqrt{C\left(\dfrac{1}{r_0 u}-\dfrac{1}{r_0}\right)}} = r_0\int_{R/r_0}^{1}\frac{du}{\sqrt{\dfrac{C}{r_0}\left(\dfrac{1-u}{u}\right)}}.
Colocando constantes fora:
T = r_0\sqrt{\frac{r_0}{C}}\int_{R/r_0}^{1}\sqrt{\frac{u}{1-u}}\,du = \sqrt{\frac{r_0^{3}}{C}}\int_{R/r_0}^{1}\sqrt{\frac{u}{1-u}}\,du.
Agora resolvemos a integral
I(a)=\int_{a}^{1}\sqrt{\frac{u}{1-u}}\,du,\qquad a=\frac{R}{r_0}.
Faça a substituição trigonométrica u=\sin^{2}\theta. Então du=2\sin\theta\cos\theta\,d\theta=\sin(2\theta)\,d\theta e \sqrt{\dfrac{u}{1-u}}=\tan\theta. Quando u=a tem \theta_a=\arcsin\sqrt{a}; quando u=1 tem \theta=\pi/2. Assim
I(a)=\int_{\theta_a}^{\pi/2}\tan\theta\cdot \sin(2\theta)\,d\theta.
Simplificando \tan\theta\sin(2\theta)=2\sin^{2}\theta, então
I(a)=2\int_{\theta_a}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\,d\theta =2\left[\frac{\theta}{2}-\frac{\sin(2\theta)}{4}\right]_{\theta_a}^{\pi/2}.
Avaliar os limites:
I(a)=\Big(\frac{\pi}{2}-\theta_a\Big)+\frac{1}{2}\sin(2\theta_a).
Voltando para a: \theta_a=\arcsin\sqrt{a} e \sin(2\theta_a)=2\sin\theta_a\cos\theta_a=2\sqrt{a(1-a)}. Assim
I(a)=\frac{\pi}{2}-\arcsin\sqrt{a}+\sqrt{a(1-a)}.
Substituindo de volta em T e lembrando C=\dfrac{2|k q Q|}{m}, obtemos
T=\sqrt{\frac{r_0^{3}}{C}}\;I\!\left(\frac{R}{r_0}\right) = \sqrt{\frac{m r_0^{3}}{2|k q Q|}}\left[\frac{\pi}{2}-\arcsin\!\sqrt{\frac{R}{r_0}}+\sqrt{\frac{R}{r_0}\Big(1-\frac{R}{r_0}\Big)}\right].
Essa é a expressão fechada do tempo que a partícula leva para ir de r_0 até R no caso qQ<0.

Passo 5

Resposta à pergunta (d): energia mecânica é conservada? (discussão física e condições)
  • Sim, a energia mecânica (energia cinética da partícula mais energia potencial eletrostática U(r)=k q Q/r) é conservada se forem desprezados efeitos de emissão de radiação eletromagnética e se a distribuição de carga da casca permanecer fixa (isto é, a casca não se move nem se altera por indução). Nesse caso a força elétrica é conservativa e se pode usar conservação de energia para obter v(r) e o tempo.
  • Observação importante (física realista): uma partícula carregada que acelera pode emitir radiação (radiação de bremsstrahlung), e nesse caso parte da energia mecânica seria perdida para radiação e a energia mecânica não seria estritamente conservada. Em muitos problemas clássicos de eletrostática (não-relativísticos, desprezando emissão de radiação) essa emissão é ignorada e então considera-se que a energia mecânica está conservada.

Passo 6

Gráfico qualitativo de v(r) para qQ<0 (como construir e principais características)
  • Expressão para qQ<0 e R\le r\le r_0: v(r)=\sqrt{\frac{2|k q Q|}{m}\!\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)}.
  • Características do gráfico v versus r:
    • No ponto inicial r=r_0, tem v(r_0)=0.
    • Para r diminuindo de r_0 até R, v(r) cresce monotonamente, porque \dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r_0} aumenta.
    • O crescimento é com comportamento do tipo raiz quadrada em relação a \dfrac{1}{r}: o gráfico tem inclinação vertical (derivada infinita) ao sair do repouso em r_0 (comportamento local v\sim\sqrt{r_0-r} próximo de r_0).
    • No ponto r=R a velocidade tem valor finito dado por v(R)=\sqrt{\frac{2|k q Q|}{m}\!\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r_0}\right)}.
    • Se, hipoteticamente, a partícula continuasse até r\to 0, v(r) cresceria sem limite (tendendo a infinito), mas como há a casca em R>0 o domínio físico é r\ge R e o valor relevante é v(R).
  • Em termos de forma: comece em zero em r_0, suba rapidamente e de forma côncava para baixo até atingir o valor v(R) em r=R.

Resposta

(a) m\,\ddot r(t)=\dfrac{k\,q\,Q}{r(t)^{2}}, com k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}.\n
(b) \displaystyle v(r)=\pm\sqrt{\frac{2k q Q}{m}\!\left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r}\right)} (escolher o sinal conforme direção do movimento). Para qQ<0 é conveniente escrever \displaystyle v(r)=\sqrt{\frac{2|k q Q|}{m}\!\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)}, R\le r\le r_0.\n
(c) Para qQ<0,
\displaystyle T=\sqrt{\frac{m r_0^{3}}{2|k q Q|}}\left[\frac{\pi}{2}-\arcsin\!\sqrt{\frac{R}{r_0}}+\sqrt{\frac{R}{r_0}\Big(1-\frac{R}{r_0}\Big)}\right].\n
(d) Sim: a energia mecânica (cinética da partícula mais energia potencial eletrostática U(r)=kqQ/r) é conservada, desde que se despreze radiação eletromagnética e que a distribuição de carga da casca permaneça fixa.\n
(e) Gráfico qualitativo para qQ<0: v(r) começa em 0 em r=r_0 e cresce monotonamente quando r diminui, com
\displaystyle v(r)=\sqrt{\dfrac{2|k q Q|}{m}\!\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r_0}\right)}; e atinge o valor finito \displaystyle v(R)=\sqrt{\dfrac{2|k q Q|}{m}\!\left(\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{r_0}\right)} em r=R.

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