Considere uma casca esférica de raio
e carga
distribuída sobre sua superfície conforme a densidade
. A densidade é uniforme. A uma distância
do centro da casca, é colocada uma carga pontual
. Considere que a carga pontual é livre para mover-se e que ela é inicialmente solta no local indicado previamente.
(a) Encontre a equação de movimento da carga
.
(b) Encontre a velocidade da partícula como função da distância ao centro da esfera.
(c) Caso
, encontre o tempo em que a carga pontual alcança a casca.
(d) A energia mecânica do sistema é conservada?
(e) Construa o gráfico da velocidade como função da posição para o caso
.
(a) Encontre a equação de movimento da carga
(b) Encontre a velocidade da partícula como função da distância ao centro da esfera.
(c) Caso
(d) A energia mecânica do sistema é conservada?
(e) Construa o gráfico da velocidade como função da posição para o caso
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (assumi que a partícula tem massa
; o enunciado não deu a massa, então vou nomeá-la
porque é necessária para a equação do movimento).
-
Dados do enunciado:
- Casca esférica de raio
com carga total distribuída uniformemente sobre a superfície (densidade superficial constante ). - Uma carga pontual
é colocada a uma distância inicial do centro da casca, com . O enunciado diz que a partícula está “solta” nesse ponto — interpretamos isso como “solta a partir do repouso” (velocidade inicial ). - A partícula é livre para mover-se sob a ação elétrica gerada pela casca (assume-se que a casca tem carga fixa
e está presa no lugar).
- Casca esférica de raio
-
O que o enunciado pede:
(a) A equação do movimento da carga(equação diferencial para ).
(b) A velocidadeda partícula como função da distância ao centro (isto é, ).
(c) Para o caso(atração), o tempo que a carga pontual leva para chegar à casca (isto é, tempo para ir de até ).
(d) Se a energia mecânica do sistema é conservada.
(e) Construir (descrever) o gráfico da velocidade em função da posição para. -
Notas úteis que usarei:
- Constante eletrostática
. - Pelo teorema de Gauss, fora da casca esférica o campo eletrostático da casca é igual ao de uma carga puntiforme
concentrada no centro para . Vou usar isso para calcular a força sobre . - Vou trabalhar com coordenada radial
medida a partir do centro da casca, com sinal positivo para afastar do centro.
- Constante eletrostática
Passo 2
Campo elétrico fora da casca e força sobre
(aplicando Gauss).
-
Campo elétrico em
: ondeé o versor radial (para fora). Esta expressão veio diretamente de que uma casca carregada uniformemente se comporta, fora dela, como carga pontual no centro (aplicação do teorema de Gauss). -
Força elétrica sobre a carga
: Observação do sinal: sea força é radial para fora (repulsão); se a força é radial para dentro (atração). -
Equação do movimento (forma escalar radial). Pela segunda lei de Newton, tomando a coordenada radial
positiva para fora, Esta é a equação diferencial de movimento solicitada em (a). Ela já contém o sinal certo: parao lado direito é negativo e aponta para dentro.
Passo 3
Explicando energia potencial eletrostática e usando conservação de energia para obter
.
-
Energia potencial elétrica entre duas cargas puntiformes (referência
): Como fora da casca a casca se comporta como carga pontualno centro, essa expressão vale para . -
Conservação de energia mecânica (ignorando radiação eletromagnética): a energia total (energia cinética da partícula mais energia potencial eletrostática) é constante. Se a partícula parte do repouso em
, a energia total é -
Para uma posição genérica
durante o movimento: -
Isolando
: Portanto, a velocidade escalar (em módulo) éAqui o sinalindica direção (negativo se diminui, positivo se aumenta). Em particular, no caso de atração e para a combinação dentro da raiz é positiva (porque ambos os fatores são negativos, ou escrevendo de forma sempre positiva) que é equivalente e mais conveniente quando. -
Comentário didático: esta expressão é uma aplicação direta de conservação de energia: a perda de energia potencial quando o corpo se aproxima do centro transforma-se em energia cinética. Sempre escreva
e resolva para a partir de .
Passo 4
Cálculo do tempo de queda para
: integral e solução analítica.
Queremos o tempo
que leva para a carga partir de
e alcançar a casca em
(assumindo que não há obstáculos até
). Para
o movimento é para diminuir
. Tomamos tempo positivo e escrevemos
Como
(
decresce ), temos
e, trocando os limites para obter ordem crescente:
Usamos a forma conveniente para
:
Defina a constante
Então
Fazer a mudança de variável
. Assim
,
, e os limites viram
e
. Substituindo:
Colocando constantes fora:
Agora resolvemos a integral
Faça a substituição trigonométrica
. Então
e
. Quando
tem
; quando
tem
. Assim
Simplificando
, então
Avaliar os limites:
Voltando para
:
e
. Assim
Substituindo de volta em
e lembrando
, obtemos
Essa é a expressão fechada do tempo que a partícula leva para ir de
até
no caso
.
Passo 5
Resposta à pergunta (d): energia mecânica é conservada? (discussão física e condições)
- Sim, a energia mecânica (energia cinética da partícula mais energia potencial eletrostática
) é conservada se forem desprezados efeitos de emissão de radiação eletromagnética e se a distribuição de carga da casca permanecer fixa (isto é, a casca não se move nem se altera por indução). Nesse caso a força elétrica é conservativa e se pode usar conservação de energia para obter e o tempo. - Observação importante (física realista): uma partícula carregada que acelera pode emitir radiação (radiação de bremsstrahlung), e nesse caso parte da energia mecânica seria perdida para radiação e a energia mecânica não seria estritamente conservada. Em muitos problemas clássicos de eletrostática (não-relativísticos, desprezando emissão de radiação) essa emissão é ignorada e então considera-se que a energia mecânica está conservada.
Passo 6
Gráfico qualitativo de
para
(como construir e principais características)
- Expressão para
e : - Características do gráfico
versus : - No ponto inicial
, tem . - Para
diminuindo de até , cresce monotonamente, porque aumenta. - O crescimento é com comportamento do tipo raiz quadrada em relação a
: o gráfico tem inclinação vertical (derivada infinita) ao sair do repouso em (comportamento local próximo de ). - No ponto
a velocidade tem valor finito dado por - Se, hipoteticamente, a partícula continuasse até
, cresceria sem limite (tendendo a infinito), mas como há a casca em o domínio físico é e o valor relevante é .
- No ponto inicial
- Em termos de forma: comece em zero em
, suba rapidamente e de forma côncava para baixo até atingir o valor em .
Resposta
(a)
, com
.\n
(b) (escolher o sinal conforme direção do movimento). Para
é conveniente escrever
,
.\n
(c) Para ,
(b)
(c) Para
(d) Sim: a energia mecânica (cinética da partícula mais energia potencial eletrostática
) é conservada, desde que se despreze radiação eletromagnética e que a distribuição de carga da casca permaneça fixa.\n
(e) Gráfico qualitativo para :
começa em
em
e cresce monotonamente quando
diminui, com
; e atinge o valor finito
em
.
(e) Gráfico qualitativo para