Considere um cubo de lados L. Em cada quina do curbo é colocada uma carga pontual Q e em seu centro geométrico é colocada uma carga pontual q.
(a) Encontre um sistema de coordenadas que será usado por você para solucionar o problema.
(b) Construa uma superfície fechada que englobe o sistema e calcule o fluxo do campo do sistema sobre a superfície.
(c) Em uma posição \vec{r} fora do sistema de cargas, encontre o campo eletrostático.
(d) Em uma posição \vec{r} fora do sistema de cargas, encontre o potencial eletrostático e seu gráfico como função de r.
(e) Encontre a energia eletrostàtica do sistema.
Passo 1
O enunciado dá um cubo de aresta L. Em cada uma das oito quinas (vértices) do cubo existe uma carga pontual de intensidade Q. No centro geométrico do cubo há uma carga pontual de intensidade q. O que se pede, em partes:
(a) escolher um sistema de coordenadas a ser usado;
(b) construir uma superfície fechada envolvendo o sistema e calcular o fluxo do campo elétrico através dela;
(c) encontrar o campo eletrostático em uma posição \vec{r} situada fora do sistema de cargas;
(d) encontrar o potencial eletrostático em uma posição \vec{r} fora do sistema de cargas e apresentar seu gráfico como função de r;
(e) calcular a energia eletrostática total do sistema de cargas.
Informações relevantes dadas explicitamente ou implícitas:
Existem 8 cargas iguais Q nas quinas do cubo.
Existe uma carga q no centro do cubo.
O lado do cubo vale L.
A posição do ponto onde se quer o campo/potencial está fora do conjunto de cargas (isto é, a distância do ponto ao centro do cubo é maior do que a maior distância de uma carga ao centro).
Deve-se usar leis básicas do eletromagnetismo (Lei de Gauss, princípio da superposição, expressão do potencial e energia para cargas pontuais).
Passo 2
Escolha do sistema de coordenadas (resposta da parte (a)), com explicação didática.
Sugestão prática e simétrica: colocar a origem no centro geométrico do cubo e alinhar os eixos cartesianos com as arestas do cubo. Isto simplifica muito as posições das cargas e aproveita simetrias. Defina
a=\frac{L}{2}.
Então as coordenadas dos oito vértices são todas as combinações dos sinais \pm a nas três coordenadas; ou seja, os vértices estão nos pontos
\bigl(\pm a,\\ \pm a,\\ \pm a\bigr).
A carga q está na origem \vec{0}. Esta escolha facilita somas e uso de simetrias (por exemplo, há um vértice oposto a cada vértice, o que ajuda a anular momentos de ordem ímpar).
Passo 3
Construção da superfície fechada e cálculo do fluxo (parte (b)), com ensino sobre Gauss.
Escolha uma superfície fechada simples que envolva todas as cargas: por exemplo, uma esfera centrada na origem de raio R tal que
A vantagem de usar uma esfera é apenas a simplicidade geométrica; qualquer superfície fechada que englobe todas as cargas serve para aplicar a Lei de Gauss.
A Lei de Gauss (forma integral) diz: para qualquer superfície fechada S,
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida no volume fechado por S e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Esta é uma consequência direta da equação de Maxwell \nabla\cdot\vec{E}=\rho/\varepsilon_0 integrada e do teorema da divergência.
Aqui, todas as cargas estão dentro da esfera escolhida; portanto a carga total interna é
Q_{\text{int}}=q+8Q.
Aplicando Gauss obtemos imediatamente o fluxo através de S:
Observação didática: a Lei de Gauss fornece o fluxo total através da superfície, mas não fornece o campo ponto a ponto a menos que exista simetria suficiente para deduzir \vec{E} sobre a superfície (por exemplo, simetria esférica). No nosso caso a distribuição não é esfericamente simétrica, então o fluxo conhecido não determina \vec{E}(\vec{r}) em cada ponto da esfera.
Passo 4
Campo elétrico fora do sistema (parte (c)), princípio da superposição e discussão de simetrias.
Princípio da superposição: o campo elétrico total gerado por várias cargas pontuais é a soma vetorial dos campos gerados por cada carga individualmente. O campo criado por uma carga pontual q_i em posição \vec{r}_i é
Portanto, para uma posição \vec{r} fora do sistema de cargas (ou seja, \vec{r} tal que |\vec{r}|>a\sqrt{3}), o campo total é a soma da contribuição da carga central e das oito cargas de vértice:
onde r=|\vec{r}| e a soma percorre as 8 combinações de sinais correspondentes aos vértices \bigl(\sigma_1 a,\sigma_2 a,\sigma_3 a\bigr).
Explicação didática adicional:
Essa expressão é exata e direta: cada termo é o campo coulombiano de uma carga pontual.
Não se pode, em geral, simplificar mais para obter uma fórmula somente em termos de r (magnitude) porque a distribuição de vértices não é esfericamente simétrica. Em geral o campo depende da direção de \vec{r} também.
No entanto, para distâncias grandes em relação a L (isto é, r\gg L), usa-se a expansão multipolar (série em potências de L/r). O termo monopolar domina:
Devido à simetria do conjunto vértices \pm a em todas as direções, o momento dipolar
\vec{p}=\sum_i q_i\vec{r}_i
anula-se (cada vértice tem seu oposto), e o tensor quadrupolar também se anula pela simetria cúbica (mostra-se por somas que os elementos do tensor quadrupolar somam zero). Assim o primeiro termo não-monopolar não nulo corresponde a multipolos de ordem mais alta (o primeiro permitido pela simetria cúbica tem ordem l=4), de modo que as correções ao monopolo são muito pequenas para r\gg L. Portanto, para grandes r,
O potencial de uma carga pontual q_i em \vec{r}_i é (1/4\pi\varepsilon_0)q_i/|\vec{r}-\vec{r}_i|. Soma-se para obter o potencial total.
Novamente, esta expressão é exata e depende da direção de \vec{r} além do módulo r.
Gráfico como função de r: se a pergunta pede o comportamento em função de r (isto é, variação radial), duas observações importantes:
Em geral \Phi(\vec{r}) depende de \vec{r} (direção e magnitude), então não existe uma única função \Phi(r) que descreva todas as direções. Cada direção tem uma curva \Phi(r).
Para fins práticos, o termo dominante para r\gg L é monopolar e isotrópico:
Portanto, o gráfico do potencial médio ou do potencial para distâncias grandes é uma curva do tipo \sim 1/r: decai monotonamente como hipérbole. Para r comparável a L a dependência radial varia com a direção e deve ser obtida numericamente a partir da expressão exata acima.
Esquematicamente (gráfico qualitativo):
No eixo vertical: \Phi.
No eixo horizontal: r.
Curva principal para r\gtrsim L: aproximação \Phi(r)\approx (1/4\pi\varepsilon_0)(q+8Q)/r.
Para r perto de a\sqrt{3} aparecem flutuações angulares e pequenas variações dependendo da direção; mas nenhuma singularidade aparece porque ponto \vec{r} está fora das cargas.
Passo 6
Energia eletrostática do sistema (parte (e)), com explicação de fórmula e cálculo passo a passo.
Fórmula geral (ensino): a energia eletrostática de um conjunto de cargas pontuais é
onde a soma é feita sobre todos os pares distintos i<j e r_{ij}=|\vec{r}_i-\vec{r}_j| é a distância entre as cargas i e j. Esta expressão corresponde à energia necessária para montar o conjunto de cargas trazendo-as do infinito uma a uma.
Aplicação ao nosso sistema: separamos as contribuições
pares entre vértices (oito cargas Q);
pares entre o centro (carga q) e cada vértice (8 pares).
Cálculo das distâncias entre vértices:
pares de vértices ligados por uma aresta: distância L. Número de tais pares: 12.
pares de vértices ligados por diagonal de face: distância L\sqrt{2}. Número de tais pares: 12.
pares de vértices opostos (diagonais do cubo, ou seja, extremos de uma diagonal espacial): distância L\sqrt{3}. Número de tais pares: 4.
(Confirmação: 12+12+4=\binom{8}{2}=28 pares totais entre os 8 vértices.)
Mas deixei a forma exata em radicais para manter clareza.
Resposta
(a) Origem no centro do cubo, eixos x,y,z alinhados com as arestas; vértices em \bigl(\pm a,\pm a,\pm a\bigr) com a=L/2.
(b) Tomando uma esfera centrada na origem com R>\tfrac{L\sqrt{3}}{2},