Considere . Deternine a matriz do operador linear dado por em relação à base canônica de .
Passo 1
A questão pede a matriz do operador linear T em M₂(ℝ), onde T(X)=M X−X M e M=. O espaço M₂(ℝ) tem base canônica E11,E12,E21,E22, onde cada Eij tem um 1 na posição (i,j) e zeros nos demais. Para encontrar a matriz de T nessa base, basta calcular T em cada Eij e expressar o resultado como combinação linear dos Ekl.
Passo 2
Vamos calcular T(E_{11})=M E_{11}−E_{11} M.
O produto M E_{11} coloca a primeira coluna de M na primeira coluna e zero na segunda:
M E11=1 & 00 & 0
Já E_{11} M pega a primeira linha de M na primeira linha e zeros abaixo:
E11 M=1 & 20 & 0
Subtraindo,
T(E11)=1 & 00 & 0-1 & 20 & 0=0 & -20 & 0=-2,E12
Passo 3
Agora T(E_{12})=M E_{12}−E_{12} M.
M E_{12} coloca M·(0,1) como segunda coluna:
M E12=0 & 10 & 0
E_{12} M pega M(2,:) na primeira linha:
E12 M=0 & -10 & 0
Logo,
T(E12)=0 & 10 & 0-0 & -10 & 0=0 & 20 & 0=2,E12
Passo 4
Para T(E_{21})=M E_{21}−E_{21} M:
M E_{21} coloca M·(0,1) na primeira coluna:
M E21=2 & 0-1 & 0=2E11-E21
E_{21} M coloca M(1,:) na segunda linha:
E21 M=0 & 01 & 2=E21+2E22
Subtraindo,
T(E21)=(2E11-E21)-(E21+2E22)=2E11-2E21-2E22
Passo 5
Finalmente T(E_{22})=M E_{22}−E_{22} M:
M E_{22} coloca M·(0,1) na segunda coluna:
M E22=0 & 20 & -1=2E12-E22
E_{22} M multiplica M(2,:) na segunda linha:
E22 M=0 & 00 & -1=-E22
Logo,
T(E22)=(2E12-E22)-(-E22)=2E12
Passo 6
Agora montamos a matriz de T na base (E11,E12,E21,E22). Cada coluna é o vetor de coordenadas de T(E_{ij}). Temos: