Obtenha uma equação geral (normal) para os planos pi abaixo:
lx=1+lambda-mu y=2 lambda+mu z=3-mu

Passo 1

Estamos com o plano dado em forma paramétrica por
x=1+lambda-mu y=2lambda+mu z=3-mu
Isso é conteúdo de conversão de forma paramétrica para a forma geral (ax+by+cz+d=0). Vamos precisar extrair um ponto e dois vetores diretores e usar produto vetorial para achar o vetor normal.

Passo 2

Da parametrização, basta escolher lambda=0 e mu=0 para obter um ponto do plano. Assim, um ponto é
P=(x,y,z)=(1,0,3)
Os vetores diretores vêm das variações em lambda e mu:
Para lambda:
vec v1=(partial x/partiallambda,,partial y/partiallambda,,partial z/partiallambda)=(1,2,0),
Para mu:
vec v2=(partial x/partialmu,,partial y/partialmu,,partial z/partialmu)=(-1,1,-1)

Passo 3

O vetor normal vec n ao plano é dado pelo produto vetorial vec v1timesvec v2. Calculando:
vec n= i & j & k 1 & 2 & 0 -1 & 1 & -1=(2cdot(-1)-0cdot1), i - (1cdot(-1)-0cdot(-1)), j+(1cdot1-2cdot(-1)), k
vec n=(-2,;1,;3)

Passo 4

A forma geral do plano usa vec n=(a,b,c) e o ponto P=(x0,y0,z0) na expressão
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0
Substituindo a=-2,b=1,c=3 e P=(1,0,3):
-2(x-1)+1(y-0)+3(z-3)=0
-2x+2+y+3z-9=0
Podemos multiplicar por -1) para ficar mais convencional:
2x - y - 3z +7 = 0

Resposta

2x - y - 3z +7 = 0

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