Seja T: R^2 R^2 um operador linear cuja matriz em relação à base [T]B= é ll1 & 1 5 & 1 T. Determine a matriz de R^2 em relação à base canônica de .

Passo 1

O enunciado diz que temos um operador linear T:R^2toR^2, cuja matriz na base B=(1,0),(1,4) é
[T]B = 1 & 15 & 1
O objetivo é achar a matriz de T na base canônica. O conteúdo aqui é mudança de base de matrizes, usando a relação
[T]can = P,[T]B,P^-1,
onde P é a matriz cujas colunas são os vetores de B escritos na base canônica.

Passo 2

Precisamos montar a matriz de passagem P de B para a base canônica. Como B=b1=(1,0),;b2=(1,4), temos
P = 1 & 10 & 4

Passo 3

Calculamos o inverso de P. O determinante é det P = 1cdot4 - 1cdot0 = 4. Então
P^-1 = 144 & -10 & 1 = 1 & -tfrac140 & tfrac14

Passo 4

Em seguida, aplicamos a fórmula de mudança de base:
[T]can = P,[T]B,P^-1
Primeiro, calculamos
P,[T]B = 1 & 10 & 4 1 & 15 & 1 = 6 & 220 & 4

Passo 5

Finalmente multiplicamos pelo P^-1:
[T]can = 6 & 220 & 4 1 & -tfrac140 & tfrac14 = 6 & -120 & -4

Resposta

A matriz de T na base canônica é
6 & -120 & -4

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