Considere e b=(l1 0 1).
a) Existem valores de lambda, mu e nu para os quais A x=b não possui solução? Se sim, encontre-os.
b) Existem valores de lambda, mu e nu para os quais A x=b possui uma única solução? Se sim, encontre-os.
c) Existem valores de lambda, mu e nu para os quais A x=b possui uma família a 1 parâmetro de soluções? Se sim, encontre-os.
d) Existem valores de lambda, mu e nu para os quais A x=b possui uma família a 2 parâmetros de soluções? Se sim, encontre-os.
e) Existem valores de lambda, mu e nu para os quais A x=b possui uma família a 3 parâmetros de soluções? Se sim, encontre-os.
Passo 1
Vamos estudar o sistema A x = b, onde A é uma matriz 3×5 e b um vetor 3×1. Nosso conteúdo é posto de matriz e Teorema de Rouché–Capelli: comparamos posto de A e de [A|b] e vemos se o sistema é compatível; o número de parâmetros livres é n – posto(A), com n=5.
Passo 2
Aplicando eliminação de Gauss em A|b, começamos com
Passo 3
Passo 4
fazendo R2←R2+R1 e R3←R3−R2′ obtemos
Passo 5
Passo 6
Dessa forma o posto de A é 3 se pelo menos um dos coeficientes em R3 é não nulo, ou seja se (ν−1, −1−λ−μ)≠(0,0); e é 2 exatamente quando ν=1 e μ+λ=−1. Como a entrada augmentada em R3 é 0, o posto de [A|b] coincide com o de A para todos os valores.
Passo 7
Pelo Teorema de Rouché–Capelli o sistema é sempre compatível (posto(A)=posto([A|b]) para todo λ,μ,ν), logo não há caso sem solução. Como posto(A) nunca alcança 5, não há solução única; e como nunca vale 4, não há família com 1 parâmetro.
Passo 8
Quando posto(A)=3 (isto é, não vale ν=1 e μ+λ=−1) temos n−posto=5−3=2 parâmetros livres; e quando posto(A)=2 (isto é, ν=1 e μ+λ=−1) temos 5−2=3 parâmetros livres.
Resposta
a) Não existe nenhuma tripla (λ,μ,ν) que torne o sistema sem solução. b) Não existe tripla que dê solução única. c) Não existe tripla que dê família de 1 parâmetro. d) Há família de 2 parâmetros sempre que ν≠1 ou μ+λ≠−1. e) Há família de 3 parâmetros exatamente quando ν=1 e μ+λ=−1.