V ou F:
( ) Se A in Mn times n e posto(A)=n, então A x=b tem uma única solução, qualquer que seja b in R^n.
() Se A in Mm times n e posto(A)=n, então A x=b tem uma única solução, qualquer que seja b in R^m.
( ) Se A in Mm times n e posto(A)=n, então A x=b tem, no máximo, uma única solução, qualquer que seja b in R^n.
( ) Existem A in Mm times n, com posto(A)=n, e b in R^m tais que A x=b não possui solução.
( ) Se A in Mm times n e posto((A) é menor do que m, então A x=0 possui solução não trivial.

Passo 1

A questão pede para classificar cada afirmação como verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve sistemas lineares, posto (rank) de matrizes e critérios de existência e unicidade de soluções. Para resolver, vamos usar o Teorema de Rouché–Capelli e o Teorema do Núcleo e Imagem (dimensão do núcleo e nulidade).

Passo 2

A primeira afirmação diz: “Se A ∈ M_{n×n} e posto(A)=n, então Ax=b tem uma única solução para todo b ∈ ℝ^n.” Como A é quadrada de ordem n e full–rank, ela é invertível. Logo, para qualquer b existe exatamente x=A^{-1}b. Portanto, essa afirmação é verdadeira.

Passo 3

A segunda afirmação diz: “Se A ∈ M_{m×n} e posto(A)=n, então Ax=b tem uma única solução para todo b ∈ ℝ^m.” Aqui A tem posto(A)=n=número de colunas, então colunas são L.I. Isso garante injeção (uniquidade), mas não garante sobrejeção se m>n: existem vetores b em ℝ^m fora da imagem de A para os quais Ax=b não tem solução. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 4

A terceira afirmação diz: “Se A ∈ M_{m×n} e posto(A)=n, então Ax=b tem, no máximo, uma única solução, qualquer que seja b ∈ ℝ^m.” Como A tem full column rank, o núcleo tem dimensão nulidade = n–posto(A)=0, logo a solução, se existir, é única (injeção). Assim, não podem haver duas soluções distintas; portanto, é verdadeira.

Passo 5

A quarta afirmação diz: “Existem A ∈ M_{m×n} com posto(A)=n e b ∈ ℝ^m tais que Ax=b não possui solução.” Como coluna(A) é subespaço próprio de ℝ^m quando n<m, há b fora de coluna(A), logo sem solução. Assim, é verdadeira.

Passo 6

A quinta afirmação diz: “Se A ∈ M_{m×n} e posto(A)<m, então Ax=0 possui solução não trivial.” Para Ax=0 ter solução não trivial precisamos nulidade = n–posto(A)>0, ou seja posto(A)<n. Mas posto(A)<m não garante posto(A)<n (por exemplo m>n e posto(A)=n<m). Nesse caso nulidade seria zero e só existiria a solução trivial. Logo, a afirmação é falsa.

Resposta

V, F, V, V, F

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