V ou F:
( ) Se
e
, então
tem uma única solução, qualquer que seja
.
() Se
e
, então
tem uma única solução, qualquer que seja
.
( ) Se
e
, então
tem, no máximo, uma única solução, qualquer que seja
.
( ) Existem
,
, e
tais que
não possui solução.
( ) Se
e
é menor do que
, então
possui solução não trivial.
( ) Se
() Se
( ) Se
( ) Existem
( ) Se
Passo 1
A questão pede para classificar cada afirmação como verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve sistemas lineares, posto (rank) de matrizes e critérios de existência e unicidade de soluções. Para resolver, vamos usar o Teorema de Rouché–Capelli e o Teorema do Núcleo e Imagem (dimensão do núcleo e nulidade).
Passo 2
A primeira afirmação diz: “Se A ∈ M_{n×n} e posto(A)=n, então Ax=b tem uma única solução para todo b ∈ ℝ^n.” Como A é quadrada de ordem n e full–rank, ela é invertível. Logo, para qualquer b existe exatamente x=A^{-1}b. Portanto, essa afirmação é verdadeira.
Passo 3
A segunda afirmação diz: “Se A ∈ M_{m×n} e posto(A)=n, então Ax=b tem uma única solução para todo b ∈ ℝ^m.” Aqui A tem posto(A)=n=número de colunas, então colunas são L.I. Isso garante injeção (uniquidade), mas não garante sobrejeção se m>n: existem vetores b em ℝ^m fora da imagem de A para os quais Ax=b não tem solução. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 4
A terceira afirmação diz: “Se A ∈ M_{m×n} e posto(A)=n, então Ax=b tem, no máximo, uma única solução, qualquer que seja b ∈ ℝ^m.” Como A tem full column rank, o núcleo tem dimensão nulidade = n–posto(A)=0, logo a solução, se existir, é única (injeção). Assim, não podem haver duas soluções distintas; portanto, é verdadeira.
Passo 5
A quarta afirmação diz: “Existem A ∈ M_{m×n} com posto(A)=n e b ∈ ℝ^m tais que Ax=b não possui solução.” Como coluna(A) é subespaço próprio de ℝ^m quando n<m, há b fora de coluna(A), logo sem solução. Assim, é verdadeira.
Passo 6
A quinta afirmação diz: “Se A ∈ M_{m×n} e posto(A)<m, então Ax=0 possui solução não trivial.” Para Ax=0 ter solução não trivial precisamos nulidade = n–posto(A)>0, ou seja posto(A)<n. Mas posto(A)<m não garante posto(A)<n (por exemplo m>n e posto(A)=n<m). Nesse caso nulidade seria zero e só existiria a solução trivial. Logo, a afirmação é falsa.
Resposta
V, F, V, V, F