Considere (R^3,+, cdot) um espaço vetorial real munido do produto interno lang<=cdot, cdotrang<= usual. Seja C= underbrace(1raiz3, 1raiz3, 1raiz3)=u1, underbrace(2raiz6, -1raiz6, -1raiz6)=u2, underbrace(0, 1raiz2, -1raiz2)=u3 base ortonormal do espaço vetorial real consirado.
(a) Encontre a matriz das coordenadas do v=(1,7,8) relativamente à base C.

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas de v=(1,7,8) na base ortonormal
C=u1,u2,u3.
Em uma base ortonormal, a coordenada de v na direção de ui é
alphai = lang<= v,uirang<=

Passo 2

Calculamos alpha1 = lang<= v,u1rang<=.
Como u1=l(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r),
alpha1 =1cdot1 + 7cdot1 + 8cdot1raiz3 =16raiz3

Passo 3

Calculamos alpha2 = lang<= v,u2rang<=.
Como u2=l(tfrac2raiz6,-tfrac1raiz6,-tfrac1raiz6r),
alpha2 =2cdot1 + (-1)cdot7 + (-1)cdot8raiz6 =2 -7 -8raiz6 =-13raiz6

Passo 4

Calculamos alpha3 = lang<= v,u3rang<=.
Como u3=l(0,tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r),
alpha3 =0cdot1 + 1cdot7 + (-1)cdot8raiz2 =7-8raiz2 =-1raiz2

Passo 5

Juntando alpha1,alpha2,alpha3, obtemos as coordenadas de v na base C.

Resposta

[v] C = 16raiz3 -13raiz6 -1raiz2

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