No espaço vetorial real (M2(R),+, cdot), considere o produto interno lang<= A, Brang<==tr(B^t A), para A, B in M2(R). Se A=(ll1 & 1 0 & 1) e B=(ll1 & 0 0 & 0), encontre uma base ortonormal de (M2(R),+, cdot), segundo o produto interno lang<=cdot, cdotrang<= introduzido acima.

Passo 1

O espaço é M2(R) com produto interno
lang<= X,Yrang<= = tr(Y^tX)
que, na prática, é a soma dos produtos das entradas correspondentes de X e Y. Queremos uma base ortonormal de dimensão 4. Para isso, vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt a um conjunto de quatro matrizes independentes. Começamos usando
A=1&10&1, B=1&00&0,
e completamos para uma base de M2(R) com
C = 0&01&0, D = 0&00&1

Passo 2

Ortogonalizamos A em primeiro lugar. Calculamos
|A|^2 = lang<= A,Arang<= =1^2+1^2+0^2+1^2=3,
logo
e1 = A|A| = 1raiz31&10&1

Passo 3

Subtraímos de B a projeção em e1. Primeiro
lang<= B,Arang<= =1cdot1 +0+0+0 =1, lang<= B,e1rang<= = 1raiz3
Então
U2 = B - lang<= B,e1rang<= e1 = 1&00&0 - 1raiz3,1raiz31&10&1 = tfrac23 & -tfrac13[3pt]0&-tfrac13
O seu quadrado da norma é
|U2|^2 =l(tfrac23r)^2+l(-tfrac13r)^2+l(-tfrac13r)^2 =69=23,
de onde
e2 = U2|U2| = raiztfrac32, tfrac23 & -tfrac13[3pt]0&-tfrac13 = tfracraiz63& -tfracraiz66[3pt]0 & -tfracraiz66 ]

Passo 4

Tomamos C=0&01&0. Verifica-se
lang<= C,e1rang<==0 e lang<= C,e2rang<==0, além de
|C|^2=1. Logo
e3 = C = 0&01&0

Passo 5

Finalmente ortogonalizamos
D=0&00&1 em relação a e1,e2,e3. Calcula-se
lang<= D,e1rang<= = 1raiz3, lang<= D,e2rang<= = -raiz66, lang<= D,e3rang<==0
Então
U4 = D - lang<= D,e1rang<= e1 - lang<= D,e2rang<= e2 = 0&00&1 - 131&10&1 + raiz66 tfracraiz63& -tfracraiz66[3pt]0 & -tfracraiz66 = 0&-tfrac12[3pt]0&tfrac12,
com |U4|^2=tfrac12. Portanto
e4 = U4|U4| = raiz2, 0&-tfrac12[3pt]0&tfrac12 = 0 & -tfracraiz22[3pt]0 & tfracraiz22 ]

Resposta

Uma base ortonormal de M2(R) é
e1 = 1raiz31&10&1, e2 = tfracraiz63& -tfracraiz66[3pt]0 & -tfracraiz66, e3 = 0&01&0, e4 = 0 & -tfracraiz22[3pt]0 & tfracraiz22 ]

Exercícios relacionados