Considere (R^3,+, cdot) um espaço vetorial real munido do produto interno lang<=cdot, cdotrang<= usual. Seja C=underbrace(1raiz3, 1raiz3, 1raiz3)=u1, underbrace(2raiz6, -1raiz6, -1raiz6)=u2, underbrace(0, 1raiz2, -1raiz2)=u3 base ortonormal do espaço vetorial real consirado.
10a) Encontre a matriz das coordenadas do v=(1,7,8) relativamente à base C.
10b) Encontre a projeção ortogonal do vetor v no subespaço vetorial W=[u1, u2].
10c) Sejam u, w in R^3, tais que [u]C=(c1 0 -1) e[w]C=(l1 1 1). Encontre |u|,|v| e o ângulo entre os vetores u e v.
10d) Calcule |u+v|.
10e) Calcule |u1+u2+u3|.

Passo 1

O enunciado define em R^3 a base ortonormal
C=u1,u2,u3 com
u1=l(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r), u2=l(tfrac2raiz6,-tfrac1raiz6,-tfrac1raiz6r), u3=l(0,tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r)
e o vetor padrão v=(1,7,8). Como C é ortonormal, as coordenadas de qualquer vetor x são
[x]C=l(lang<= x,u1rang<=,lang<= x,u2rang<=,lang<= x,u3rang<=r)
A projeção ortogonal no subespaço gerado por u1,u2 é
projW(x)=lang<= x,u1rang<=,u1+lang<= x,u2rang<=,u2
Para vetores dados em coordenadas na base ortonormal, a norma é
|x|=raiza^2+b^2+c^2 se [x]C=(a,b,c), e o produto interno é o produto escalar das coordenadas.

Passo 2

Calculamos as coordenadas de v em C.
lang<= v,u1rang<= =1+7+8raiz3 =16raiz3, lang<= v,u2rang<= =2-7-8raiz6 =-13raiz6, lang<= v,u3rang<= =7-8raiz2 =-1raiz2
Logo
[v]C =l(tfrac16raiz3,,-tfrac13raiz6,,-tfrac1raiz2r)

Passo 3

A projeção ortogonal de v em W=spanu1,u2 é
projW(v) =16raiz3,u1 -13raiz6,u2
Em coordenadas canônicas:
16raiz3u1 =l(tfrac163,tfrac163,tfrac163r), -13raiz6u2 =l(-tfrac133,tfrac136,tfrac136r)
Somando componente a componente:
projW(v) =l(1,tfrac152,tfrac152r)

Passo 4

Dados u e w com
[u]C=(1,0,-1) e [w]C=(1,1,1), temos
|u| =raiz1^2+0^2+(-1)^2 =raiz2, |w| =raiz1^2+1^2+1^2 =raiz3
O produto interno é
lang<= u,wrang<==1cdot1+0cdot1+(-1)cdot1=0,
logo u e w são ortogonais e o ângulo entre eles é
theta=pi2

Passo 5

Para |u+v|, escrevemos as coordenadas em C:
[u]C=(1,0,-1),; [v]C=(tfrac16raiz3,-tfrac13raiz6,-tfrac1raiz2)
Então
[u+v]C =l(1+tfrac16raiz3,,-tfrac13raiz6,,-1-tfrac1raiz2r)
e
|u+v| =raizl(1+tfrac16raiz3r)^2 +l(-tfrac13raiz6r)^2 +l(-1-tfrac1raiz2r)^2

Passo 6

Finalmente,
|u1+u2+u3|^2 =lang<= u1+u2+u3,u1+u2+u3rang<= =1+1+1 =3
pois os ui são mutuamente ortogonais de norma 1. Logo
|u1+u2+u3|=raiz3.

Resposta

(a) [v]C=l(tfrac16raiz3,,-tfrac13raiz6,,-tfrac1raiz2r)
(b) projW(v)=(1,tfrac152,tfrac152)
(c) |u|=raiz2,;|w|=raiz3, e o ângulo entre u e w é tfracpi2
(d) |u+v|=raizl(1+tfrac16raiz3r)^2+l(-tfrac13raiz6r)^2+l(-1-tfrac1raiz2r)^2
(e) |u1+u2+u3|=raiz3

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