Seja (V,+, cdot) espaço vetorial real, munido do produto interno lang<=cdot, cdotrang<=. Verifique se os operadores abaixo são auto-adjuntos:
15a) V=R^3,lang<=cdot, cdotrang<= o produto interno usual e T: R^3 R^3 dado por T(x, y, z)=(y+2 z, x+3 z, 2 x+3 y), para(x, y, z) in R^3.
15b) V=mathscrP1(R),lang<=cdot, cdotrang<= o produto interno do Exercício 1. e T: mathscrP1(R) mathscrP1(R), dado por T(p)=q, para p in mathscrP1(R), onde p(t)=a+b t e q(t)=(a+4 b)+(4 a+2 b) t, para t in R.
15c) V=M2(R),lang<=cdot, cdotrang<= o produto interno do Exercício 3. e T: M2(R) M2(R), tal que
T((ll 1 & 0 0 & 0 ))=(ll 0 & 1 0 & 0 ), T((ll 0 & 1 0 & 0 ))=(ll 1 & 1 2 & 0 ), T((ll 0 & 0 1 & 0 ))=(ll 0 & 0 2 & 0 ) e T((ll 0 & 0 0 & 1 ))=(ll 0 & 0 0 & 1 )

Passo 1

O enunciado pede para testar se cada operador T é auto-adjunto em espaços vetoriais reais com produto interno. A condição de auto-adjunção é
lang<= T(u),vrang<= ;=;lang<= u,T(v)rang<= para todos u,v
Em bases ortonormais isso equivale à matriz de T ser simétrica.

Passo 2

(a) Em R^3 com o produto interno usual, a base canônica e1,e2,e3 é ortonormal. Calculamos
T(e1)=T(1,0,0)=(0,1,2), T(e2)=(1,0,3), T(e3)=(2,3,0)
Logo a matriz de T é
A = 0 & 1 & 2 1 & 0 & 3 2 & 3 & 0
Como A^T=A, concluímos que T é auto-adjunto.

Passo 3

(b) Em mathscr P1(R) com o produto interno
lang<= p,qrang<= = integral0^1 p(t),q(t),dt,
a família 1,t não é ortonormal. Para ver que T(a+bt)=(a+4b)+(4a+2b)t não é auto-adjunto basta um contraexemplo:
T(1)=1+4t, T(t)=4+2t
Então
lang<= T(1),trang<= = integral0^1 (1+4t),t,dt =12+43=116, lang<= 1,T(t)rang<= = integral0^1 (4+2t),dt =5
Como tfrac116neq5, T não é auto-adjunto.

Passo 4

(c) Em M2(R) com lang<= A,Brang<==tr(A^T B), a base
E11,E12,E21,E22 é ortonormal. Escrevendo
T(E11)=E12,; T(E12)=E11+E12+2E21,; T(E21)=2E21,; T(E22)=E22,
a matriz de T nessa base é
0&1&0&0 1&1&0&0 0&2&2&0 0&0&0&1 ,
que não é simétrica (por exemplo o elemento (3,2)=2neq0=(2,3)). Logo T não é auto-adjunto.

Resposta

(a) T é auto-adjunto.
(b) T não é auto-adjunto.
(c) T não é auto-adjunto.

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