Seja espaço vetorial real, munido do produto interno . Verifique se os operadores abaixo são auto-adjuntos:
15a) o produto interno usual e dado por , .
15b) o produto interno do Exercício 1. e , dado por , para , onde e , para .
15c) o produto interno do Exercício 3. e , tal que
Passo 1
O enunciado pede para testar se cada operador T é auto-adjunto em espaços vetoriais reais com produto interno. A condição de auto-adjunção é
lang<= T(u),vrang<= ;=;lang<= u,T(v)rang<= para todos u,v
Em bases ortonormais isso equivale à matriz de T ser simétrica.
Passo 2
(a) Em R^3 com o produto interno usual, a base canônica e1,e2,e3 é ortonormal. Calculamos