Considere o espaço vetorial real munido do produto interno usual. Verfique quais dos operadores lineares abaixo são isometrias de :
11a) , para .
11b) , para .
11c) , para .
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais operadores lineares \n
preservam o produto interno usual (isto é, são isometrias). Vamos usar que, na base canônica, é isometria se e só se a matriz de satisfaz
once é a matriz identidade .
Passo 2
Relembrando: uma matriz satisfaz exatamente quando suas colunas formam um sistema ortonormal em . Geometricamente, isso significa que não distorce comprimentos nem ângulos.
Passo 3
Para o item (a),
tem matriz na base canônica
Calculando
Logo não é ortogonal e não é isometria.]
Passo 4
Para o item (b),
é a rotação de de . Sua matriz é
Sabe-se (ou verifica-se) que
Mb^T Mb = I2,
portanto Mb é ortogonal e T é isometria.]
Passo 5
Para o item (c),
T(x,y)=(y,x)
tem matriz
Mc= 0 & 1[4pt] 1 & 0
Verificamos
Mc^T Mc =0&11&0 0&11&0 =1&00&1 =I2,
logo Mc é ortogonal e T é isometria (é uma reflexão).]
Resposta
(a) Não é isometria.
(b) É isometria.
(c) É isometria.