Considere o espaço vetorial real (R^2,+, cdot) munido do produto interno lang<=cdot, cdotrang<= usual. Verfique quais dos operadores lineares T: R^2 R^2 abaixo são isometrias de R^2 :
11a) T(x, y)=(x+y, x-y), para (x, y) in R^2.
11b) T(x, y)=(12 x-raiz32 y, raiz32 x+12 y), para (x, y) in R^2.
11c) T(x, y)=(y, x), para (x, y) in R^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais operadores lineares
;TcolonR^2toR^2\n
preservam o produto interno usual (isto é, são isometrias). Vamos usar que, na base canônica, T é isometria se e só se a matriz M de T satisfaz
M^T M = I2,
once I2 é a matriz identidade 2times2.

Passo 2

Relembrando: uma matriz M satisfaz M^T M=I2 exatamente quando suas colunas formam um sistema ortonormal em R^2. Geometricamente, isso significa que T não distorce comprimentos nem ângulos.

Passo 3

Para o item (a),
T(x,y)=(x+y,;x-y)
tem matriz na base canônica
Ma= 1 & 1 [6pt] 1 & -1
Calculando
Ma^T Ma =1&11&-1 1&11&-1 =2&00&2 =2,I2neq I2
Logo Ma não é ortogonal e T não é isometria.]

Passo 4

Para o item (b),
T(x,y)=l(tfrac12x-tfracraiz32y,;tfracraiz32x+tfrac12yr)
é a rotação de R^2 de 60^circ. Sua matriz é
Mb= tfrac12 & -tfracraiz32[4pt] tfracraiz32 & tfrac12
Sabe-se (ou verifica-se) que
Mb^T Mb = I2,
portanto Mb é ortogonal e T é isometria.]

Passo 5

Para o item (c),
T(x,y)=(y,x)
tem matriz
Mc= 0 & 1[4pt] 1 & 0
Verificamos
Mc^T Mc =0&11&0 0&11&0 =1&00&1 =I2,
logo Mc é ortogonal e T é isometria (é uma reflexão).]

Resposta

(a) Não é isometria.
(b) É isometria.
(c) É isometria.

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