Mostre que para qualquer triângulo esférico com ângulos internos iguais a
, vale que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num triângulo esférico cujos ângulos internos são
,
e
, vale
O conteúdo que vamos usar é o cálculo da área de um triângulo na esfera unitária e a noção de excesso esférico (fórmula de Girard).
Passo 2
Em geometria esférica, um triângulo é determinado pela interseção de três meias-esferas cujos contornos são grandes círculos. Cada ângulo interno, digamos
, é justamente o ângulo diedro entre os dois planos que contêm as arestas correspondentes e o centro da esfera.
Um fato útil é que a “lune” (região limitada por dois semicírculos de grande círculo que se encontram com ângulo diedro
) tem área na esfera unitária dada por
Passo 3
Pela fórmula de Girard (ou pelo Teorema de Gauss–Bonnet para regiões com geodésicas), a área
de um triângulo esférico de raio
cujos ângulos internos são
é
O termo
é chamado excesso esférico.
Passo 4
Como qualquer região não degenerada na esfera tem área positiva, temos
. Logo,