Mostre que para qualquer triângulo esférico com ângulos internos iguais a alpha, beta, gamma, vale que alpha+beta+gamma> pi.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num triângulo esférico cujos ângulos internos são alpha, beta e gamma, vale
alpha+beta+gamma>pi
O conteúdo que vamos usar é o cálculo da área de um triângulo na esfera unitária e a noção de excesso esférico (fórmula de Girard).

Passo 2

Em geometria esférica, um triângulo é determinado pela interseção de três meias-esferas cujos contornos são grandes círculos. Cada ângulo interno, digamos alpha, é justamente o ângulo diedro entre os dois planos que contêm as arestas correspondentes e o centro da esfera.
Um fato útil é que a “lune” (região limitada por dois semicírculos de grande círculo que se encontram com ângulo diedro theta) tem área na esfera unitária dada por
Área da lune ;=;2,theta Á

Passo 3

Pela fórmula de Girard (ou pelo Teorema de Gauss–Bonnet para regiões com geodésicas), a área A de um triângulo esférico de raio 1 cujos ângulos internos são alpha,beta,gamma é
A ;=;alpha+beta+gamma-pi
O termo alpha+beta+gamma-pi é chamado excesso esférico.

Passo 4

Como qualquer região não degenerada na esfera tem área positiva, temos A>0. Logo,
alpha+beta+gamma-pi>0 Longrightarrow alpha+beta+gamma>pi

Resposta

alpha+beta+gamma>pi

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