Considere f(x)=a \cdot b^{x}, a>0, b>1, sabendo que:
  • f(2)=20
  • f(5)=160
Determine a e b.

Passo 1

O enunciado nos dá a função exponencial f(x)=a\cdot b^{x} com as condições a>0 e b>1. São fornecidos dois valores da função:
  • f(2)=20
  • f(5)=160
O que o problema pede: determinar os valores de a e b que satisfazem essas duas igualdades simultaneamente.
Informações relevantes dadas:
  • A forma geral da função é f(x)=a\cdot b^{x}.
  • Dois pontos da função: (2,20) e (5,160).
  • Restrição a>0 e b>1.

Passo 2

Substituir os pontos fornecidos na expressão f(x)=a\cdot b^{x} para obter um sistema de equações em a e b.
Substituindo x=2 e f(2)=20 obtemos
a\cdot b^{2}=20.
Substituindo x=5 e f(5)=160 obtemos
a\cdot b^{5}=160.

Passo 3

Queremos eliminar a para encontrar b. Uma maneira direta é dividir a segunda equação pela primeira. Antes disso, lembre: para potências com mesma base vale a regra
\frac{b^{m}}{b^{n}}=b^{m-n}.
Dividindo as equações:
\frac{a\cdot b^{5}}{a\cdot b^{2}}=\frac{160}{20}.
O a cancela e, usando a regra de expoentes,
b^{5-2}=b^{3}=\frac{160}{20}.

Passo 4

Calcular a razão do lado direito:
\frac{160}{20}=8,
portanto chegamos à equação simples
b^{3}=8.
Explicação de como resolver b^{3}=8: isso significa que b é o número que elevado ao cubo dá 8. A forma direta é tomar a raiz cúbica:
b=\sqrt[3]{8}=2.
Como alternativa (quando não é inteiro), pode-se usar logaritmo: \ln b=\dfrac{\ln 8}{3} e então b=e^{\ln 8/3}, que dá o mesmo valor aqui.

Passo 5

Agora que sabemos b=2, voltamos a uma das equações para encontrar a. Usando a\cdot b^{2}=20:
a\cdot 2^{2}=20.
Calcular 2^{2}:
2^{2}=4,
logo
a\cdot 4=20.
Dividindo ambos os lados por 4:
a=\frac{20}{4}=5.

Passo 6

Fazer uma verificação rápida para ter certeza:
Calcular f(2)=a\cdot b^{2}=5\cdot 2^{2}=5\cdot 4=20 (confere).
Calcular f(5)=5\cdot 2^{5}=5\cdot 32=160 (confere).
Portanto os valores encontrados satisfazem ambas as condições.

Resposta

a=5
b=2

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