A quantidade de bactérias segue
Q(t)=3 \cdot 2^{t+1}
Após quanto tempo Q(t)=768 ?

Passo 1

O enunciado dá a quantidade de bactérias em função do tempo:
Q(t)=3\cdot 2^{t+1}.
Pede-se: encontrar o tempo t tal que Q(t)=768. Informação relevante: o número alvo é 768.

Passo 2

Primeiro objetivo técnico: escrever a equação que precisamos resolver substituindo Q(t)=768:
3\cdot 2^{t+1}=768.
Queremos isolar a potência de base 2, portanto dividimos ambos os lados por 3.

Passo 3

Dividindo por 3 obtemos
2^{t+1}=\frac{768}{3}.
Calculemos \dfrac{768}{3}. Fazendo a divisão inteira: 768\div3=256. Então
2^{t+1}=256.

Passo 4

Agora reconhecemos 256 como uma potência de 2. Vamos lembrar as potências de 2 (curtinho):
2^1=2,\;2^2=4,\;2^3=8,\;2^4=16,\;2^5=32,\;2^6=64,\;2^7=128,\;2^8=256.
Como 256=2^8, podemos comparar expoentes:
2^{t+1}=2^8 \quad\Rightarrow\quad t+1=8.

Passo 5

Resolver t+1=8:
t=8-1=7.

Passo 6

(Comentário didático extra que pode aparecer na prova) Alternativa usando logaritmos: aplicar \log_2 ou \ln em ambos os lados da equação 2^{t+1}=256 t+1=\log_2(256). Como \log_2(256)=8, chega-se ao mesmo resultado t=7. A ideia do logaritmo é justamente transformar potências em produtos para isolar o expoente.

Resposta

t=7

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