\mathrm{R} \ 2.500,00 são aplicadosã2,1 % ao mês. O objetivo é chegar a R\êé4.000,00. Quanto tempo será necessário?

Passo 1

O enunciado dá o valor inicial investido e a taxa mensal, e pede o tempo necessário para que o montante atinja R$4.000,00. Dados fornecidos:
  • Capital inicial: P=\mathrm{R}\$\,2{,}500{,}00.
  • Taxa de juros: i=2{,}1\% ao mês.
  • Montante desejado: A=\mathrm{R}\$\,4{,}000{,}00.
A pergunta é: quanto tempo (em meses/anos) será necessário para que o investimento cresça de P até A com capitalização mensal a i por mês?

Passo 2

Modelo matemático que vamos usar: juros compostos mensais. A fórmula do montante após n períodos (meses) é
A = P\,(1+i)^{n},
onde:
  • A é o montante final,
  • P é o capital inicial,
  • i é a taxa por período (em decimal),
  • n é o número de períodos (meses) — é o que queremos encontrar.
Explicação rápida do porquê: em juros compostos, a cada mês o capital é multiplicado por (1+i), então após n meses multiplica-se P por (1+i)^{n}.

Passo 3

Isolar n. Começamos dividindo ambos os lados por P:
\frac{A}{P}=(1+i)^{n}.
Para remover o expoente usamos logaritmo (qualquer base serve, desde que usada nas duas partes). Aplicando log:
\ln\!\left(\frac{A}{P}\right)=\ln\!\big((1+i)^{n}\big)=n\cdot\ln(1+i).
A propriedade usada é \ln(a^{b})=b\ln(a). Portanto
n=\frac{\ln\!\left(\dfrac{A}{P}\right)}{\ln(1+i)}.
Observação prática: pode-se usar \log_{10} em vez de \ln; o resultado é o mesmo porque a razão de logs em qualquer base é igual.

Passo 4

Substituir os valores. Primeiro transformar a taxa percentual em decimal:
i=2{,}1\% = 0{,}021.
Calcular a razão \dfrac{A}{P}:
\frac{A}{P}=\frac{4{,}000}{2{,}500}=1{,}6.

Passo 5

Calcular os logaritmos numéricos. Usando log natural:
\ln\!(1{,}6)=0{,}470003629\quad(\text{exato a várias casas: }0{,}4700036292457356).á
Para \ln(1{,}021) pode-se usar série ou calculadora; pelo desenvolvimento em série de \ln(1+x) com x=0{,}021 obtemos
\ln(1{,}021)\approx 0{,}020782539.
(Aqui mostrei os valores numéricos que você pode obter numa calculadora de bolso ou em tabela de logaritmos.)

Passo 6

Calcular n dividindo os logs:
n=\frac{0{,}470003629}{0{,}020782539}\approx 22{,}6156\\ \text{meses}.
Arredondando razoavelmente, n\approx 22{,}62 meses.

Passo 7

Interpretar o resultado em unidades convencionais:
  • Em meses: aproximadamente 22{,}62 meses.
  • Em anos e meses: \dfrac{22{,}6156}{12}\approx 1{,}8846 anos, ou seja 1 ano e 22{,}6156-12=10{,}6156 meses; mais prático: 1 ano, 10 meses e a fração de mês 0{,}6156 que equivale a cerca de 0{,}6156\times 30\approx 18{,}5 dias. Logo aproximadamente 1 ano, 10 meses e 18 dias.
Nota prática para prova/decisão: se a pergunta for “quantos meses inteiros são necessários para atingir pelo menos R$4.000,00”, como n real é 22{,}6156, serão necessários 23 meses completos (precisa arredondar para cima para atingir ou ultrapassar o objetivo).

Passo 8

Resumo e dica de prova: a técnica chave é reconhecer a fórmula de juros compostos A=P(1+i)^{n} e usar logaritmos para resolver para n. Em prova, escreva claramente a fórmula, transforme percentual em decimal, faça a divisão A/P, aplique log e calcule a razão. Se não puder usar calculadora para logaritmos, memorizando valores comuns (por exemplo \ln 2\approx0{,}6931) e usando identidades pode ajudar, mas normalmente é esperado uso de calculadora.

Resposta

n\approx 22{,}62\\ \text{meses} \approx 1\\ \text{ano},\\\ 10\\ \text{meses}\\ \text{e}\\\ 18\\ \text{dias}
Mínimo de 23 meses completos para atingir pelo menos R$,4.000,00.

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