2.500,00
2,1 %
4.000,00. Quanto tempo será necessário?
Passo 1
O enunciado dá o valor inicial investido e a taxa mensal, e pede o tempo necessário para que o montante atinja R$4.000,00. Dados fornecidos:
- Capital inicial:
. - Taxa de juros:
ao mês. - Montante desejado:
.
A pergunta é: quanto tempo (em meses/anos) será necessário para que o investimento cresça de
até
com capitalização mensal a
por mês?
Passo 2
Modelo matemático que vamos usar: juros compostos mensais. A fórmula do montante após
períodos (meses) é
onde:
-
é o montante final, -
é o capital inicial, -
é a taxa por período (em decimal), -
é o número de períodos (meses) — é o que queremos encontrar.
Explicação rápida do porquê: em juros compostos, a cada mês o capital é multiplicado por
, então após
meses multiplica-se
por
.
Passo 3
Isolar
. Começamos dividindo ambos os lados por
:
Para remover o expoente usamos logaritmo (qualquer base serve, desde que usada nas duas partes). Aplicando log:
A propriedade usada é
. Portanto
Observação prática: pode-se usar
em vez de
; o resultado é o mesmo porque a razão de logs em qualquer base é igual.
Passo 4
Substituir os valores. Primeiro transformar a taxa percentual em decimal:
Calcular a razão
:
Passo 5
Calcular os logaritmos numéricos. Usando log natural:
Para
pode-se usar série ou calculadora; pelo desenvolvimento em série de
com
obtemos
(Aqui mostrei os valores numéricos que você pode obter numa calculadora de bolso ou em tabela de logaritmos.)
Passo 6
Calcular
dividindo os logs:
Arredondando razoavelmente,
meses.
Passo 7
Interpretar o resultado em unidades convencionais:
- Em meses: aproximadamente
meses. - Em anos e meses:
anos, ou seja 1 ano e meses; mais prático: 1 ano, 10 meses e a fração de mês que equivale a cerca de dias. Logo aproximadamente 1 ano, 10 meses e 18 dias.
Nota prática para prova/decisão: se a pergunta for “quantos meses inteiros são necessários para atingir pelo menos R$4.000,00”, como
real é
, serão necessários 23 meses completos (precisa arredondar para cima para atingir ou ultrapassar o objetivo).
Passo 8
Resumo e dica de prova: a técnica chave é reconhecer a fórmula de juros compostos
e usar logaritmos para resolver para
. Em prova, escreva claramente a fórmula, transforme percentual em decimal, faça a divisão
, aplique log e calcule a razão. Se não puder usar calculadora para logaritmos, memorizando valores comuns (por exemplo
) e usando identidades pode ajudar, mas normalmente é esperado uso de calculadora.
Resposta
Mínimo de