Para criptografar uma palavra de quatro letras, um aluno de matemática a representou como uma matriz M de ordem 4 \times 1, substituindo cada letra da palavra por números conforme o quadro a seguir:
obtendo a matriz coluna B, de ordem 4 \times 1, onde transposta(B) =\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right]. Para descriptografar a palavra deve-se fazer o produto da matriz B pela inversa de A. Então a palavra originalmente era:
Passo 1
O enunciado pede que encontremos a palavra original (quatro letras) que foi codificada como a matriz coluna M de ordem 4\times1. Informações dadas e o que é pedido:
Foi fornecida a tabela de correspondência letra → número (peguei os valores diretamente da tabela do enunciado).
O produto entre A e M gerou a matriz coluna B, e o enunciado informa que \operatorname{transposta}(B)=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4\end{bmatrix}. Ou seja, peguei do enunciado que
O enunciado diz explicitamente que, para descriptografar, devemos calcular o produto de B pela inversa de A. Então a tarefa é calcular M = A^{-1}B e, com os números obtidos, usar a tabela para voltar às letras.]
Passo 2
Entender a inversa de uma matriz diagonal (aula rápida e prática).
Uma matriz diagonal tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero; aqui A é diagonal.
Para uma matriz diagonal D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,d_3,d_4) que tem todos os d_i\neq 0, a inversa é também diagonal e dada por
Ou seja: inverter uma matriz diagonal é só inverter cada elemento da diagonal (fácil e rápido na prova — sem sistemas lineares complicados).
Aplicando isso a A: os elementos diagonais de A são \tfrac{1}{21},\tfrac{1}{11},\tfrac{3}{5},\tfrac{1}{4}. Então seus recíprocos são 21,11,\tfrac{5}{3},4. Logo
Multiplicação de matriz diagonal por vetor — regra prática.
Se A^{-1} é diagonal e B=\begin{pmatrix}b_1\b_2\b_3\b_4\end{pmatrix}, o produto M=A^{-1}B tem entradas m_i = (\text{diagonal}_i)\cdot b_i. Cada linha só multiplica o correspondente de B.
Aqui B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\\[4pt]4\end{pmatrix}. Então calculamos cada componente de M:
Converter os números de volta para letras usando a tabela (peguei os mapeamentos da tabela dada no enunciado).
Pela tabela: \;21\rightarrow T, \;22\rightarrow U, \;5\rightarrow D, \;16\rightarrow O.
Explicando rápido como ler a tabela: as letras A, B, C, … foram associadas aos números 1,2,3,\dots. Então só localizamos cada número e escrevemos a letra correspondente.
Passo 5
Juntando as letras na ordem das entradas de M (primeira componente = primeira letra, etc.), obtemos a palavra: