Para criptografar uma palavra de quatro letras, um aluno de matemática a representou como uma matriz M de ordem 4 \times 1, substituindo cada letra da palavra por números conforme o quadro a seguir:
\mathrm{A} \rightarrow 1 \mathrm{~B} \rightarrow 2 \mathrm{C} \rightarrow 3 \mathrm{C} \rightarrow 4 \mathrm{D} \rightarrow 5 \mathrm{E} \rightarrow 6
\mathrm{~F} \rightarrow 7 \mathrm{G} \rightarrow 8 \mathrm{H} \rightarrow 9 \mathrm{I} \rightarrow 10 \mathrm{~J} \rightarrow 11 \mathrm{~K} \rightarrow 12
\mathrm{~L} \rightarrow 13 \mathrm{M} \rightarrow 14 \mathrm{~N} \rightarrow 15 \mathrm{O} \rightarrow 16 \mathrm{P} \rightarrow 17 \mathrm{Q} \rightarrow 18
\mathrm{R} \rightarrow 19 \mathrm{~S} \rightarrow 20 \mathrm{~T} \rightarrow 21 \mathrm{U} \rightarrow 22 \mathrm{~V} \rightarrow 23 \mathrm{~W} \rightarrow 24
\mathrm{X} \rightarrow 25 \mathrm{Y} \rightarrow 26 \mathrm{Z} \rightarrow 27 \overline{\mathrm{~A}} \rightarrow 28 \tilde{\mathrm{O}} \rightarrow 29 \hat{\mathrm{E}} \rightarrow 30
Em seguida multiplicou a matriz M pela matriz A :
A=\left[\begin{array}{cccc} \frac{1}{21} & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{11} & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & \frac{3}{5} & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{array}\right]
obtendo a matriz coluna B, de ordem 4 \times 1, onde transposta(B) =\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right]. Para descriptografar a palavra deve-se fazer o produto da matriz B pela inversa de A. Então a palavra originalmente era:

Passo 1

O enunciado pede que encontremos a palavra original (quatro letras) que foi codificada como a matriz coluna M de ordem 4\times1. Informações dadas e o que é pedido:
  • Foi fornecida a tabela de correspondência letra → número (peguei os valores diretamente da tabela do enunciado).
  • A matriz A é
A=\begin{pmatrix} \frac{1}{21} & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \frac{1}{11} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & \frac{3}{5} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.
  • O produto entre A e M gerou a matriz coluna B, e o enunciado informa que \operatorname{transposta}(B)=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4\end{bmatrix}. Ou seja, peguei do enunciado que
B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\\[4pt]4\end{pmatrix}.
  • O enunciado diz explicitamente que, para descriptografar, devemos calcular o produto de B pela inversa de A. Então a tarefa é calcular M = A^{-1}B e, com os números obtidos, usar a tabela para voltar às letras.]

Passo 2

Entender a inversa de uma matriz diagonal (aula rápida e prática).
  • Uma matriz diagonal tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero; aqui A é diagonal.
  • Para uma matriz diagonal D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,d_3,d_4) que tem todos os d_i\neq 0, a inversa é também diagonal e dada por
D^{-1}=\operatorname{diag}\!\bigl(\tfrac{1}{d_1},\tfrac{1}{d_2},\tfrac{1}{d_3},\tfrac{1}{d_4}\bigr).
  • Ou seja: inverter uma matriz diagonal é só inverter cada elemento da diagonal (fácil e rápido na prova — sem sistemas lineares complicados).
  • Aplicando isso a A: os elementos diagonais de A são \tfrac{1}{21},\tfrac{1}{11},\tfrac{3}{5},\tfrac{1}{4}. Então seus recíprocos são 21,11,\tfrac{5}{3},4. Logo
A^{-1}=\begin{pmatrix} 21 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 11 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{5}{3} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Multiplicação de matriz diagonal por vetor — regra prática.
  • Se A^{-1} é diagonal e B=\begin{pmatrix}b_1\b_2\b_3\b_4\end{pmatrix}, o produto M=A^{-1}B tem entradas m_i = (\text{diagonal}_i)\cdot b_i. Cada linha só multiplica o correspondente de B.
  • Aqui B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\\[4pt]4\end{pmatrix}. Então calculamos cada componente de M:
Cálculo componente a componente:
\begin{aligned} m_1 &= 21\cdot 1 = 21,\\[4pt] m_2 &= 11\cdot 2 = 22,\\[4pt] m_3 &= \tfrac{5}{3}\cdot 3 = 5,\\[4pt] m_4 &= 4\cdot 4 = 16. \end{aligned}
Portanto
M=\begin{pmatrix}21\\[4pt]22\\[4pt]5\\[4pt]16\end{pmatrix}.]

Passo 4

Converter os números de volta para letras usando a tabela (peguei os mapeamentos da tabela dada no enunciado).
  • Pela tabela: \;21\rightarrow T, \;22\rightarrow U, \;5\rightarrow D, \;16\rightarrow O.
  • Explicando rápido como ler a tabela: as letras A, B, C, … foram associadas aos números 1,2,3,\dots. Então só localizamos cada número e escrevemos a letra correspondente.

Passo 5

Juntando as letras na ordem das entradas de M (primeira componente = primeira letra, etc.), obtemos a palavra:
\text{T U D O} \quad\Rightarrow\quad \text{TUDO}.

Resposta

TUDO

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