Considere uma certa mola que não obedece rigorosamente à lei de Hooke. Uma das extremidades da mola é mantida fixa. Para manter a mola comprimida ou esticada a uma distância x, é necessário aplicar uma força na extremidade livre da mola ao longo do eixo Ox com módulo dado por
. Observe que para
, a mola está esticada e para
a mola está comprimida. a) Qual o trabalho necessário para esticar a mola
a partir do seu comprimento sem deformação? b) Qual o trabalho necessário para comprimir a mola
a partir do seu comprimento sem deformação? c) É mais fácil comprimir ou esticar a mola? Explique porque, em termos da dependência de F com x.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma mola que não segue exatamente a lei de Hooke. A gente precisa calcular o trabalho necessário para esticar e comprimir essa mola a partir do seu comprimento natural. Para isso, vamos usar conceitos de Força e Trabalho em Física, especialmente o cálculo de integrais. Vamos precisar entender como a força varia com a distância e, depois, calcular a integral dessa força em relação à distância.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função da força que está sendo aplicada na mola. A força $ F $ em função da distância $ x $ é dada por:
Aqui, $ x $ é a distância que a mola está sendo esticada ($ x > 0
x < 0 $).
Passo 3
Para calcular o trabalho realizado para esticar ou comprimir a mola, usamos a fórmula do trabalho:
Onde:
- $ W $ é o trabalho,
- $ F $ é a força aplicada,
- $ x_i $ é a posição inicial,
- $ x_f $ é a posição final.
No nosso caso, vamos calcular de $ x_i = 0 $ (comprimento natural) até $ x_f = 0,060 $ metros para esticar, e até $ x_f = -0,060 $ metros para comprimir.
Passo 4
Vamos calcular o trabalho para esticar a mola em 0,060 metros:
Vamos resolver essa integral termo a termo:
Portanto:
Agora, substituímos $ x = 0,060 $:
Somando esses valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular o trabalho para comprimir a mola em 0,060 metros. Nesse caso, $ x_f = -0,060 $ metros:
Como estamos indo de 0 para um valor negativo, podemos trocar os limites de integração e mudar o sinal:
Resolvendo a integral da mesma forma:
Portanto:
Substituindo $ x = -0,060 $:
Somando:
Como o trabalho foi calculado com o sinal negativo, o valor positivo do trabalho realizado é 0,30888 Joules.
Passo 6
Para saber se é mais fácil comprimir ou esticar a mola, vamos comparar os trabalhos calculados:
- Trabalho para esticar: 0,20088 J
- Trabalho para comprimir: 0,30888 J
Como o trabalho para comprimir é maior, significa que é mais difícil comprimir a mola do que esticá-la.
Isso acontece porque a força que a mola oferece varia de forma diferente quando comprimida ou esticada. Observando a expressão da força $ F = 120x - 750x^2 + 12000x^3 $, vemos que para valores negativos de $ x $ (compressão), os termos quadrático e cúbico têm impactos maiores, aumentando a força necessária para comprimir a mola comparado à esticada.
Resposta
a) O trabalho necessário para esticar a mola 0,060 m é aproximadamente 0,20088 Joules.
b) O trabalho necessário para comprimir a mola 0,060 m é aproximadamente 0,30888 Joules.
c) É mais difícil comprimir a mola do que esticá-la, porque a força necessária aumenta mais significativamente quando comprimimos, devido à dependência não linear de $ F $ com $ x $.