Uma esfera de 3 kg e raio 0 , 2 m gira em torno de um eixo fixo com uma velocidade angular de 5 rad / s.
Se uma força externa provoca um torque de 2 Nm na esfera, calcule quanto tempo será necessário para dobrar sua velocidade angular.
(Considere o momento de inércia da esfera: I=25 m r^2.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera com massa de 3 kg e raio de 0,2 metros que está girando com uma velocidade angular de 5 rad/s. A questão pede para calcular quanto tempo vai levar para dobrar essa velocidade angular quando aplicamos um torque externo de 2 Nm. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de torque, momento de inércia e aceleração angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é torque. Torque é uma força que faz um objeto girar, e é medido em Newton-metros (Nm). A fórmula para calcular o torque quando sabemos o momento de inércia (I) e a aceleração angular (α) é:
tau = I cdot alpha
Aqui, tau é o torque, I é o momento de inércia e alpha é a aceleração angular.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o momento de inércia da esfera. Para uma esfera, a fórmula do momento de inércia é:
I = 25 m r^2
Onde:
  • m é a massa da esfera (3 kg)
  • r é o raio da esfera (0,2 m)
Vamos substituir os valores:
I = 25 times 3 times (0,2)^2 = 25 times 3 times 0,04 = 65 times 0,04 = 0,048 , kg cdot m^2

Passo 4

Com o momento de inércia calculado, podemos achar a aceleração angular usando a fórmula do torque:
alpha = tauI
Substituindo os valores:
alpha = 20,048 approx 41,67 , rad/s^2

Passo 5

Agora, queremos dobrar a velocidade angular. A velocidade inicial é 5 rad/s, então a velocidade final desejada é 10 rad/s. A diferença de velocidade é:
De

Passo 6

Sabemos que a aceleração angular é constante, então podemos usar a fórmula:
De
Resolvendo para o tempo t:
t = De

Resposta

O tempo necessário para dobrar a velocidade angular da esfera é aproximadamente 0,12 segundos.

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