Uma esfera de
e raio
gira em torno de um eixo fixo com uma velocidade angular de 5
.
Se uma força externa provoca um torque de 2 Nm na esfera, calcule quanto tempo será necessário para dobrar sua velocidade angular.
(Considere o momento de inércia da esfera:
.)
Se uma força externa provoca um torque de 2 Nm na esfera, calcule quanto tempo será necessário para dobrar sua velocidade angular.
(Considere o momento de inércia da esfera:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera com massa de 3 kg e raio de 0,2 metros que está girando com uma velocidade angular de 5 rad/s. A questão pede para calcular quanto tempo vai levar para dobrar essa velocidade angular quando aplicamos um torque externo de 2 Nm. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de torque, momento de inércia e aceleração angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é torque. Torque é uma força que faz um objeto girar, e é medido em Newton-metros (Nm). A fórmula para calcular o torque quando sabemos o momento de inércia (I) e a aceleração angular (α) é:
Aqui,
é o torque,
é o momento de inércia e
é a aceleração angular.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o momento de inércia da esfera. Para uma esfera, a fórmula do momento de inércia é:
Onde:
-
é a massa da esfera (3 kg) -
é o raio da esfera (0,2 m)
Vamos substituir os valores:
Passo 4
Com o momento de inércia calculado, podemos achar a aceleração angular usando a fórmula do torque:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, queremos dobrar a velocidade angular. A velocidade inicial é 5 rad/s, então a velocidade final desejada é 10 rad/s. A diferença de velocidade é:
Passo 6
Sabemos que a aceleração angular é constante, então podemos usar a fórmula:
Resolvendo para o tempo
:
Resposta
O tempo necessário para dobrar a velocidade angular da esfera é aproximadamente 0,12 segundos.