Para estudar o dano que a colisão com grandes pássaros pode causar a um avião, você projeta uma arma de teste, que vai acelerar objetos do tamanho de uma galinha, de modo que seu deslocamento ao longo do cano da arma seja dado por
. O objeto deixa o fim do cano no instante
. Nestas condições, determine: a) Qual deve ser o comprimento do cano da arma?
b) Qual será a velocidade escalar dos objetos quando deixam o final do cano? (0,3) c) Qual força resultante deve ser exercida sobre um objeto de
em
e em
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar o dano que colisões com grandes pássaros podem causar a um avião. Para isso, foi projetada uma arma de teste que acelera objetos do tamanho de uma galinha. A posição desses objetos ao longo do cano da arma é dada por:
Sabemos que o objeto sai do cano no instante $ t = 0,026 , s $. Vamos precisar de conceitos de cinemática, como posição, velocidade e aceleração, além das relações entre essas grandezas.
Vamos resolver as seguintes partes:
a) Determinar o comprimento do cano da arma.
b) Encontrar a velocidade escalar dos objetos ao saírem do cano.
c) Calcular a força resultante exercida sobre um objeto de $ 1,50 , kg $ em $ t = 0 $ e em $ t = 0,026 , s $.
Passo 2
Parte a) Qual deve ser o comprimento do cano da arma?
Para encontrar o comprimento do cano, precisamos calcular a posição $ x $ do objeto no instante em que ele sai do cano, ou seja, quando $ t = 0,026 , s $.
Vamos substituir $ t = 0,026 , s $ na equação de $ x(t) $:
Primeiro, calculamos cada termo separadamente:
Agora, subtraímos os valores:
Arredondando, o comprimento do cano da arma é de aproximadamente 5,0 metros.
Passo 3
Parte b) Qual será a velocidade escalar dos objetos quando deixam o final do cano?
Para encontrar a velocidade, precisamos derivar a função de posição $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $, já que a derivada da posição em relação ao tempo nos dá a velocidade $ v(t) $:
Calculando a derivada:
Agora, substituímos $ t = 0,026 , s $:
Calculando cada termo:
Subtraindo:
Então, a velocidade escalar dos objetos ao saírem do cano é de aproximadamente 328 m/s.
Passo 4
Parte c) Qual força resultante deve ser exercida sobre um objeto de $ 1,50 , kg $ em $ t = 0 $ e em $ t = 0,026 , s $?
Para encontrar a força resultante $ F(t) $, usamos a segunda lei de Newton:
Onde $ a(t) $ é a aceleração, que é a derivada da velocidade $ v(t) $. Já temos a expressão para $ v(t) $:
Vamos derivar $ v(t) $ para encontrar $ a(t) $:
Agora, vamos calcular $ a(t) $ para $ t = 0 $ e $ t = 0,026 , s $:
Em $ t = 0 $:
Em $ t = 0,026 , s $:
Agora, aplicando a segunda lei de Newton para cada instante:
Em $ t = 0 $:
Em $ t = 0,026 , s $:
Resposta
a) O comprimento do cano da arma é aproximadamente 5,0 metros.
b) A velocidade escalar dos objetos ao saírem do cano é de cerca de 328 m/s.
c) A força resultante exercida sobre um objeto de $ 1,50 , kg $ é:
- Em $ t = 0 $: $ 2,85 \times 10^{4} , N $
- Em $ t = 0,026 , s $: $ 9,31 \times 10^{3} , N $