9- Considere que um certo organismo vivo fixou 0,16 \mathrm{mg} de estróncio-90, e que a sua meia-vida é igual a 28 anos. O tempo necessário, em anos para reduzir essa quantidade de isótopo radioativo a 0,02 \mathrm{mg} é:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o tempo necessário:
  • Quantidade inicial fixada: \,0,16\\ \mathrm{mg}.
  • Meia-vida: \,28\\ \text{anos}.
  • Quantidade final desejada: \,0,02\\ \mathrm{mg}.
    Pergunta: qual é o tempo t, em anos, necessário para que a quantidade caia de \,0,16\\ \mathrm{mg} para \,0,02\\ \mathrm{mg}?

Passo 2

Conceito e fórmula que usamos (explicação didática):
  • “Meia-vida” significa o tempo que leva para a quantidade de um isótopo cair pela metade.
  • Para decaimento radioativo com meia-vida constante T, a quantidade em função do tempo é dada pela fórmula
A(t)=A_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\!t/T},
onde:
  • A(t) é a quantidade no tempo t,
  • A_0 é a quantidade inicial (em t=0),
  • T é a meia-vida,
  • t é o tempo decorrido.
    Essa fórmula vem da ideia de que a cada intervalo de tempo T a quantidade é multiplicada por \tfrac{1}{2}. Se passarem dois meios-vidas, multiplica-se por \tfrac{1}{2} duas vezes, etc.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula ao problema, com A_0=0,16, A(t)=0,02 e T=28:
0,02 = 0,16\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\!t/28}.

Passo 4

Isolamos a potência dividindo ambos os lados por 0,16:
\frac{0,02}{0,16} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\!t/28}.
Calculando a esquerda:
\frac{0,02}{0,16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}.
Observação: usei que 0,02=2\times10^{-2} e 0,16=16\times10^{-2}, por isso a razão é 2/16.

Passo 5

Reconhecemos que \tfrac{1}{8} é uma potência de 1/2:
\frac{1}{8} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^3.
Logo a equação fica
\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\!t/28}.

Passo 6

Como as bases são iguais e diferentes de 0 e 1, os expoentes devem ser iguais:
3 = \frac{t}{28}.
Isto é porque, de forma geral, se a^x=a^y e a>0, a\neq1, então x=y.

Passo 7

Resolvendo para t:
t = 3\cdot 28 = 84.
Portanto o tempo necessário é \,84 anos.

Resposta

84 anos

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