9- Considere que um certo organismo vivo fixou
de estróncio-90, e que a sua meia-vida é igual a 28 anos. O tempo necessário, em anos para reduzir essa quantidade de isótopo radioativo a
é:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o tempo necessário:
- Quantidade inicial fixada:
. - Meia-vida:
. - Quantidade final desejada:
.
Pergunta: qual é o tempo, em anos, necessário para que a quantidade caia de para ?
Passo 2
Conceito e fórmula que usamos (explicação didática):
- “Meia-vida” significa o tempo que leva para a quantidade de um isótopo cair pela metade.
- Para decaimento radioativo com meia-vida constante
, a quantidade em função do tempo é dada pela fórmula
onde:
-
é a quantidade no tempo , -
é a quantidade inicial (em ), -
é a meia-vida, -
é o tempo decorrido.
Essa fórmula vem da ideia de que a cada intervalo de tempoa quantidade é multiplicada por . Se passarem dois meios-vidas, multiplica-se por duas vezes, etc.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula ao problema, com
,
e
:
Passo 4
Isolamos a potência dividindo ambos os lados por
:
Calculando a esquerda:
Observação: usei que
e
, por isso a razão é
.
Passo 5
Reconhecemos que
é uma potência de
:
Logo a equação fica
Passo 6
Como as bases são iguais e diferentes de
e
, os expoentes devem ser iguais:
Isto é porque, de forma geral, se
e
, então
.
Passo 7
Resolvendo para
:
Portanto o tempo necessário é
anos.