Verifique se a função f (x)=ax²+bx+c admite valor máximo ou valor mínimo, e calcule esse valor, quando:
a) f (x)=3x²-6x+2,
b) f (x)=-2x²+4x-1,
c) f (x)=4-x²,
d) f (x)=x²-1
a) f (x)=3x²-6x+2,
b) f (x)=-2x²+4x-1,
c) f (x)=4-x²,
d) f (x)=x²-1
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre funções quadráticas, que têm a forma $ f(x) = ax^2 + bx + c $. A tarefa é verificar se cada função admite um valor máximo ou mínimo e calcular esse valor. Para isso, vamos precisar entender como o coeficiente $ a $ afeta a forma da parábola e como encontrar o vértice da função, que nos dá o valor máximo ou mínimo.
Passo 2
a) $ f(x) = 3x^2 - 6x + 2 $
Primeiro, identificamos o coeficiente $ a = 3 $. Como $ a > 0 $, a parábola é “côncava para cima”, o que significa que a função tem um valor mínimo.
Para encontrar o mínimo, usamos a fórmula da coordenada $ x $ do vértice:
Substituindo os valores:
Agora, calculamos $ f(x_v) $:
Então, o valor mínimo é
.
Passo 3
b) $ f(x) = -2x^2 + 4x - 1 $
Aqui, o coeficiente $ a = -2 $. Como $ a < 0 $, a parábola é “côncava para baixo”, indicando que a função tem um valor máximo.
Usando a fórmula do vértice:
Calculando $ f(x_v) $:
Portanto, o valor máximo é
.
Passo 4
c) $ f(x) = 4 - x^2 $
Reescrevendo a função para facilitar, temos $ f(x) = -x^2 + 4 $, onde $ a = -1 $. Novamente, como $ a < 0 $, a parábola é “côncava para baixo” e a função possui um valor máximo.
Encontrando o vértice:
Calculando $ f(x_v) $:
O valor máximo é
.
Passo 5
d) $ f(x) = x^2 - 1 $
Aqui, $ a = 1 $, que é maior que zero. A parábola é “côncava para cima”, indicando que a função tem um valor mínimo.
Usando a fórmula do vértice:
Calculando $ f(x_v) $:
Assim, o valor mínimo é
.
Resposta
a) A função $ f(x) = 3x^2 - 6x + 2 $ possui um valor mínimo de
.
b) A função $ f(x) = -2x^2 + 4x - 1 $ possui um valor máximo de
.
c) A função $ f(x) = 4 - x^2 $ possui um valor máximo de
.
d) A função $ f(x) = x^2 - 1 $ possui um valor mínimo de
.