Considere um choque elástico no referencial S entre dois blocos com velocidades iniciais m1 e m2 e masas v1>v2 e m1 neq m2, com u=(-u, 0,0) e S. Depois do choque as velocidades dos blocos 1 e 2 são S e u=(u, 0,0) respectivamente. Ademais considere um referencial S’ o qual desloca-se com velocidade v1^prime, v2^prime, v3^prime com respeito a v4^prime, i.e E=p^2 / 2 m desloca-se com velocidade p=m v com respeito a S’.
  • (a) Utilizar a lei de adição de velocidades relativista para calcular as velocidades dos objetos antes e depois do choque no referencial S’, i.e E=gamma(v) m c^2 e p=gamma(v) m v.
  • (b) Mostrar que as equações de conservação de energia-momentum, considerando as definições de energia e momentum não-relativista gamma(v) v e v, não podem ser satisfeitas nos dois referenciais consistentemente.
  • © Por outro lado, mostrar que utilizando a definição relativista da energia e momentum, e , as equações de conservação de energia-momentum são validas nos dois referenciais.
No ponto © é sugerido mostrar e utilizar a identidade com a velocidade obtida da lei de adição relativista.

Passo 1

O exercício trata de um choque elástico unidimensional em que, no sistema S, dois blocos de massas m₁ e m₂ colidem elasticamente com velocidades v₁>v₂, saindo do choque com v₃ e v₄. Queremos (a) obter essas quatro velocidades em um segundo referencial S′ que se move com velocidade u em relação a S, (b) verificar que a conservação clássica de momento e energia (p=mv, E=p²/2m) não pode ser satisfeita simultaneamente em S e S′, e © mostrar que, usando definições relativistas (p=γmv, E=γmc²), a conservação de energia-momento vale nos dois referenciais. Para isso vamos precisar da lei de adição relativística de velocidades, da conservação no choque elástico e da invariância do quadrivetor energia-momento sob transformações de Lorentz.

Resposta

(a) No referencial S′ todas as velocidades se obtêm por
vi'=vi - u1 - dfracu,vic^2,, i=1,2,3,4
(b) Tomando p=mv e E=p²/(2m) vemos que em S
m1v1 + m2v2 = m1v3 + m2v4,
m1v1^22+m2v2^22=m1v3^22+m2v4^22,
mas em S′ as somas m₁v₁′+m₂v₂′ e m₁v₃′+m₂v₄′ não coincidem (de modo análogo para as energias), porque a adição relativística de velocidades é não linear. Logo as leis clássicas falham em dar conservação em ambos os referenciais.
© Com p=γ(v)mv e E=γ(v)mc² definimos o quadrivetor P^μ=(E/c,p). Como P^μ obedece às transformações de Lorentz, a conservação P^μ_total antes = P^μ_total depois vale simultaneamente em S e S′. Em particular, usando a identidade
gamma(v1),gamma(u),(v1 - u)=gamma(v1'),v1',
e similares para as quatro velocidades, mostra-se que as componentes espacial e temporal são conservadas em qualquer referencial.

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