Considere um choque elástico no referencial S entre dois blocos com velocidades iniciais
e
e masas
e
, com
e
. Depois do choque as velocidades dos blocos 1 e 2 são
e
respectivamente. Ademais considere um referencial S’ o qual desloca-se com velocidade
com respeito a
, i.e
desloca-se com velocidade
com respeito a S’.
- (a) Utilizar a lei de adição de velocidades relativista para calcular as velocidades dos objetos antes e depois do choque no referencial S’, i.e
e
.
- (b) Mostrar que as equações de conservação de energia-momentum, considerando as definições de energia e momentum não-relativista
e
, não podem ser satisfeitas nos dois referenciais consistentemente.
- © Por outro lado, mostrar que utilizando a definição relativista da energia e momentum,
e
, as equações de conservação de energia-momentum são validas nos dois referenciais.
No ponto © é sugerido mostrar e utilizar a identidade
com
a velocidade obtida da lei de adição relativista.
Passo 1
O exercício trata de um choque elástico unidimensional em que, no sistema S, dois blocos de massas m₁ e m₂ colidem elasticamente com velocidades v₁>v₂, saindo do choque com v₃ e v₄. Queremos (a) obter essas quatro velocidades em um segundo referencial S′ que se move com velocidade u em relação a S, (b) verificar que a conservação clássica de momento e energia (p=mv, E=p²/2m) não pode ser satisfeita simultaneamente em S e S′, e © mostrar que, usando definições relativistas (p=γmv, E=γmc²), a conservação de energia-momento vale nos dois referenciais. Para isso vamos precisar da lei de adição relativística de velocidades, da conservação no choque elástico e da invariância do quadrivetor energia-momento sob transformações de Lorentz.
Resposta
(a) No referencial S′ todas as velocidades se obtêm por
(b) Tomando p=mv e E=p²/(2m) vemos que em S
mas em S′ as somas m₁v₁′+m₂v₂′ e m₁v₃′+m₂v₄′ não coincidem (de modo análogo para as energias), porque a adição relativística de velocidades é não linear. Logo as leis clássicas falham em dar conservação em ambos os referenciais.
© Com p=γ(v)mv e E=γ(v)mc² definimos o quadrivetor P^μ=(E/c,p). Como P^μ obedece às transformações de Lorentz, a conservação P^μ_total antes = P^μ_total depois vale simultaneamente em S e S′. Em particular, usando a identidade
e similares para as quatro velocidades, mostra-se que as componentes espacial e temporal são conservadas em qualquer referencial.