Considere um fóton no referencial S com 4 -momentum dado por p^mu= ( h nu, h nu, 0,0 ), com h a constante de Planck. Notar que as unidades de h são erg times sec. Tambem podemos definir o 4 -momentum do mesmo fóton no referencial S’, o qual desloca-se com velocidade v=(v, 0,0) com respeito a S , da mesma forma nu^prime.
  • (a) Encontrar a relação entre nu e p^mu=(h nu, h nu cos alpha, h nu sin alpha, 0) utilizando a transformação de lorentz correspondente. Comparar com a fórmula do efeito Doppler e comentar.
  • (b) Por outro lado, considere um 4-momentum em S dado por nu^prime e uma expressão análoga para o 4momentum no S’. Encontrar a relação entre nu e alpha^prime, e entre alpha e utilizando a TL correspondente. Comparar com o efeito Doppler e com a fórmula para o efeito de aberraçao.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um fóton no referencial S com 4-momentum p^mu=(hnu,,hnu,,0,,0) e no referencial S’ movendo-se a v em x temos p'^mu=(hnu',,hnu',,0,,0). O conteúdo é Transformação de Lorentz para quatro-momentum e comparação com o efeito Doppler.

Passo 2

Para o item (a), escrevemos a Transformação de Lorentz para a componente temporal p^0 e espacial p^1 (tomando beta=v/c e gamma=1/raiz1-beta^2):
p'^0=gammal(p^0-beta,p^1r),
p'^1=gammal(p^1-beta,p^0r)
Como p^0=p^1=hnu, obtemos
hnu'=gammal(hnu-beta,hnur)=gamma,hnu,(1-beta),
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nu'=gamma,(1-beta),nu

Passo 3

Essa relação nu'=gamma(1-beta)nu coincide com a fórmula do efeito Doppler relativístico para luz na direção de movimento (cosθ=1), mostrando que o resultado da TL é exatamente o comportamento Doppler.

Passo 4

Para o item (b), partimos de
p^mu=(hnu,,hnucosalpha,,hnusinalpha,,0)
e aplicamos a TL:
p'^0=gammal(hnu-beta,hnucosalphar),
p'^1=gammal(hnucosalpha-beta,hnur),
p'^2=hnusinalpha
Da componente temporal tiramos
nu'=gamma,(1-betacosalpha),nu
Para o ângulo obtemos
cosalpha'=p'^1p'^0=cosalpha-beta1-betacosalpha,
sinalpha'=p'^2p'^0=sinalphagamma,(1-betacosalpha)

Passo 5

A relação nu'=gamma(1-betacosalpha)nu bate com o efeito Doppler relativístico geral e as expressões para alpha' são exatamente as da aberração relativística da luz.

Resposta

(a) nu'=gamma,(1-beta),nu. (b) nu'=gamma,(1-betacosalpha),nu, , cosalpha'=cosalpha-betaover1-betacosalpha, , sinalpha'=sinalphaovergamma(1-betacosalpha).

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