Seja uma partícula de massa m (elétron) confinada num potencial quadrado unidimensional V(x) (poço quântico 1D), o potencial quadrado tem uma largura a. (a) Determine o valor da energia E, para o estado fundamental. Considere que a função de onda para o estado fundamental tem uma auto função dada por: psi(x)=Acos(pi xa) para x entre -a2 e +a2. Fora desse intervalo a autofunção é zero. Faça um grafico da autofunção. (b) Escreva a função de onda para o estado fundamental. © Calcule o valor esperado para o momento linear p associado com o estado fundamental.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula, no caso um elétron, que está presa num poço quântico unidimensional, ou seja, num potencial quadrado que possui uma largura a. Nosso objetivo é resolver três partes desse problema:
a) Encontrar a energia E do estado fundamental, dado que a função de onda psi(x) é uma função cosseno entre -a/2 e +a/2, e zero fora desse intervalo. Também vamos fazer um gráfico dessa função de onda.
b) Escrever a função de onda para o estado fundamental.
c) Calcular o valor esperado do momento linear p associado a esse estado fundamental.
Para resolver tudo isso, vamos precisar dos conceitos de mecânica quântica sobre partículas em potenciais confinados, além de usar a equação de Schrödinger e propriedades das funções de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a), onde precisamos determinar a energia E do estado fundamental. Sabemos que a função de onda fornecida é psi(x) = A cos(pi xa) no intervalo -a/2 <= x <= +a/2 e zero fora desse intervalo.
Para encontrar a energia, vamos usar a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em um potencial V(x). Como o elétron está dentro de um poço quântico infinito, fora do intervalo -a/2 a +a/2 o potencial é infinito e a função de onda é zero, o que já está contemplado.
Dentro do poço, o potencial V(x) é zero, então a equação de Schrödinger se simplifica para:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 = E psi(x)
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida e m é a massa da partícula.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada da função de onda psi(x):
psi(x) = A cos(pi xa)
A primeira derivada é:
dpsidx = -A pia sin(pi xa)
E a segunda derivada é:
d^2 psidx^2 = -A (pia)^2 cos(pi xa) = -(pia)^2 psi(x)
Substituindo na equação de Schrödinger:
-hbar^22m (-(pia)^2 psi(x)) = E psi(x)
Simplificando:
hbar^2 pi^22m a^2 psi(x) = E psi(x)
Portanto, a energia E do estado fundamental é:
E = hbar^2 pi^22m a^2

Passo 4

Agora vamos fazer o gráfico da função de onda psi(x) = A cos(pi xa) no intervalo -a/2 a +a/2. Fora desse intervalo, a função é zero.
No meio do poço ( x = 0), o cosseno é máximo, então psi(0) = A. Nas bordas ( x = pm a/2), o cosseno é zero, então psi(pm a/2) = 0. A função é simétrica em relação ao eixo y.
O gráfico seria uma curva de cosseno que começa em zero nas bordas do poço, atinge o valor máximo A no centro e retorna a zero nas outras bordas.

Passo 5

Passando para a parte (b), precisamos escrever a função de onda para o estado fundamental. Já temos a forma funcional:
psi(x) = A cos(pi xa) & para -a2 <= x <= a2 0 & fora desse intervalo
Mas ainda não sabemos o valor da constante de normalização A. Para isso, devemos garantir que a função de onda esteja normalizada, ou seja, que a integral do módulo ao quadrado de psi(x) em todo o espaço seja igual a 1:
integral-infty^+infty |psi(x)|^2 dx = 1
Como psi(x) = 0 fora do intervalo -a/2 a +a/2, a integral só precisa ser calculada nesse intervalo:
integral-a2^a2 A^2 cos^2(pi xa) dx = 1
Utilizando a identidade trigonométrica cos^2 theta = 1 + cos 2theta2, temos:
A^2 integral-a2^a2 1 + cos(2pi xa)2 dx = 1
Integrando termo a termo:
A^2 [ 12 cdot a + 12 cdot 0 ] = 1
Aqui, a integral de cos(2pi xa) de -a/2 a +a/2 é zero.
Portanto:
A^2 cdot a2 = 1 Rightarrow A = raiz2a
Assim, a função de onda normalizada é:
psi(x) = raiz2a cos(pi xa) & para -a2 <= x <= a2 0 & fora desse intervalo

Passo 6

Finalmente, na parte ©, precisamos calcular o valor esperado do momento linear p para o estado fundamental. O valor esperado é dado por:
lang<= p rang<= = integral-infty^+infty psi^*(x) ( -ihbar ddx ) psi(x) dx
Onde psi^*(x) é o conjugado complexo de psi(x). Como nossa função de onda é real, psi^*(x) = psi(x).
Substituindo a função de onda normalizada:
lang<= p rang<= = -ihbar integral-a2^a2 raiz2a cos(pi xa) cdot ddx ( raiz2a cos(pi xa) ) dx
Calculando a derivada:
ddx ( raiz2a cos(pi xa) ) = -raiz2a cdot pia sin(pi xa)
Então:
lang<= p rang<= = -ihbar cdot 2a cdot ( -pia ) integral-a2^a2 cos(pi xa) sin(pi xa) dx
Simplificando os sinais:
lang<= p rang<= = ihbar cdot 2pia^2 integral-a2^a2 cos(pi xa) sin(pi xa) dx
Usando a identidade trigonométrica sin 2theta = 2 sin theta cos theta:
costheta sintheta = 12 sin 2theta
Portanto:
lang<= p rang<= = ihbar cdot pia^2 integral-a2^a2 sin(2pi xa) dx
A integral de sin(2pi xa) de -a/2 a +a/2 é zero, porque é uma função ímpar integrada em um intervalo simétrico em torno de zero.
Então:
lang<= p rang<= = 0

Resposta

a) A energia do estado fundamental é E = dfrachbar^2 pi^22m a^2. O gráfico da função de onda psi(x) é uma curva cosseno que atinge seu máximo no centro do poço ( x=0) e é zero nas bordas ( x = pm a/2).
b) A função de onda normalizada para o estado fundamental é:
psi(x) = raizdfrac2a cos(dfracpi xa) & para -dfraca2 <= x <= dfraca2 0 & fora desse intervalo
c) O valor esperado do momento linear p no estado fundamental é lang<= p rang<= = 0.

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