Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula, no caso um elétron, que está presa num poço quântico unidimensional, ou seja, num potencial quadrado que possui uma largura . Nosso objetivo é resolver três partes desse problema:
a) Encontrar a energia do estado fundamental, dado que a função de onda é uma função cosseno entre e , e zero fora desse intervalo. Também vamos fazer um gráfico dessa função de onda.
b) Escrever a função de onda para o estado fundamental.
c) Calcular o valor esperado do momento linear associado a esse estado fundamental.
Para resolver tudo isso, vamos precisar dos conceitos de mecânica quântica sobre partículas em potenciais confinados, além de usar a equação de Schrödinger e propriedades das funções de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a), onde precisamos determinar a energia do estado fundamental. Sabemos que a função de onda fornecida é no intervalo e zero fora desse intervalo.
Para encontrar a energia, vamos usar a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em um potencial . Como o elétron está dentro de um poço quântico infinito, fora do intervalo a o potencial é infinito e a função de onda é zero, o que já está contemplado.
Dentro do poço, o potencial é zero, então a equação de Schrödinger se simplifica para:
Aqui, é a constante de Planck reduzida e é a massa da partícula.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada da função de onda :
A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Substituindo na equação de Schrödinger:
Simplificando:
Portanto, a energia do estado fundamental é:
Passo 4
Agora vamos fazer o gráfico da função de onda no intervalo a . Fora desse intervalo, a função é zero.
No meio do poço (), o cosseno é máximo, então . Nas bordas (), o cosseno é zero, então . A função é simétrica em relação ao eixo .
O gráfico seria uma curva de cosseno que começa em zero nas bordas do poço, atinge o valor máximo no centro e retorna a zero nas outras bordas.
Passo 5
Passando para a parte (b), precisamos escrever a função de onda para o estado fundamental. Já temos a forma funcional:
Mas ainda não sabemos o valor da constante de normalização . Para isso, devemos garantir que a função de onda esteja normalizada, ou seja, que a integral do módulo ao quadrado de em todo o espaço seja igual a 1:
Como fora do intervalo a , a integral só precisa ser calculada nesse intervalo:
Onde é o conjugado complexo de . Como nossa função de onda é real, .
Substituindo a função de onda normalizada:
Calculando a derivada:
Então:
Simplificando os sinais:
Usando a identidade trigonométrica :
Portanto:
A integral de de a é zero, porque é uma função ímpar integrada em um intervalo simétrico em torno de zero.
Então:
Resposta
a) A energia do estado fundamental é . O gráfico da função de onda é uma curva cosseno que atinge seu máximo no centro do poço () e é zero nas bordas ().
b) A função de onda normalizada para o estado fundamental é:
c) O valor esperado do momento linear p no estado fundamental é lang<= p rang<= = 0.