Considere o ciclo reversível de Carnot envolvendo 1 mol de um gás ideal com
. A expansão isotérmica inicial ocorre na temperatura
de
, a temperatura da fonte quente, a partir de um volume inicial de
até um volume de
. O sistema então sofre uma expansão adiabática até que a temperatura caia para
, a temperatura da fonte fria. O sistema então sofre uma compressão isotérmica e uma subsequente compressão adiabática até que o estado inicial de
e
seja novamente alcançado.
a) Calcule
e
.
e
b) Calcule
para cada etapa do ciclo e para o ciclo total.
-ciclo total
c) Calcule
e a quantidade de calor que é extraída do reservatório quente para realizar 1,00 kJ de trabalho nas vizinhanças.
e
a) Calcule
b) Calcule
c) Calcule
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
- número de mols:
. -
. - temperatura da fonte quente:
. - temperatura da fonte fria:
. - volumes iniciais na primeira isoterma:
e . - constante dos gases ideais (usar a forma usual):
.
O ciclo de Carnot segue as etapas (numeração usada abaixo):
-
— expansão isotérmica a de para . -
— expansão adiabática de até (chega em ). -
— compressão isotérmica a de para . -
— compressão adiabática de até (volta em ).
O que é pedido:
(a) calcular e
;
(b) calcular o trabalho em cada etapa e o trabalho total do ciclo (vou explicar a convenção de sinais);
(c) calcular a eficiência e a quantidade de calor extraída do reservatório quente quando se realiza
de trabalho nas vizinhanças.
(a) calcular
(b) calcular o trabalho
(c) calcular a eficiência
Passo 2
Primeiro calculemos constantes úteis e a relação adiabática que liga volumes e temperaturas.
- Como
, então . - A razão adiabática é
- Para um processo adiabático reversível de gás ideal vale a lei
Aplicando entre os estados
e
(início da adiabática a
e fim a
):
Isolando
:
Note que
, portanto
.
Calculando o fator:
Agora os volumes:
Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos):
Para
usamos a adiabática que conecta
:
Ou seja, o mesmo fator multiplicativo que levou
a
leva
a
:
portanto
Passo 3
Agora vamos calcular o trabalho em cada etapa. Primeiro, definamos a convenção de sinais que vou usar e explicar: vou calcular o trabalho
feito PELO gás (trabalho de saída). Com essa convenção a 1ª Lei é
. Se o resultado for negativo, significa trabalho líquido feito SOBRE o gás. No final também dou o sinal invertido (trabalho sobre o sistema) se for necessário.
Etapa
(isotérmica a
): para gás ideal em processo isotérmico,
e
Calculemos:
Em kJ:
. (Trabalho positivo: o gás realiza trabalho durante a expansão isotérmica.)
Passo 4
Etapa
(adiabática reversível): aqui
. Usando
com
temos
. Para gás ideal
. Portanto o trabalho feito pelo gás é
Com
:
Em kJ:
. (Positivo: durante a expansão adiabática o gás também realiza trabalho, perdendo energia interna.)
Passo 5
Etapa
(isotérmica a
): como em
mas agora é compressão isotérmica, o trabalho feito pelo gás será negativo:
Observação: pela simetria do ciclo de Carnot tem-se
, logo
. Assim
Cálculo numérico:
(Negativo: trabalho realizado sobre o gás durante a compressão isotérmica.)
Passo 6
Etapa
(adiabática de compressão): é a reversa de
, portanto
(Negativo: trabalho feito sobre o gás para elevar sua temperatura de volta a
.)
Passo 7
Trabalho líquido do ciclo (trabalho feito pelo gás, soma das quatro etapas):
Substituindo os valores (em J):
Arredondando:
(trabalho líquido realizado PELO gás por ciclo).
Se a convenção exigida for o trabalho
como trabalho SOBRE o sistema (muitos livros de química usam
com esse sinal), então
(Expliquei a diferença de sinais para evitar confusão: ambos os valores são o mesmo módulo, só mudando o sinal conforme convenção.)
Passo 8
Eficiência e calor extraído do reservatório quente para produzir
de trabalho.
- A eficiência térmica de Carnot (ciclo reversível entre
e ) é
Cálculo:
-
No ciclo o calor absorvido da fonte quente ocorre totalmente na isoterma
; para um processo isotérmico de gás ideal . Assim, o calor absorvido por ciclo é . A eficiência também pode ser obtida por (confirmação numérica: ). -
Para realizar
de trabalho nas vizinhanças (isto é, de trabalho entregue pelo motor), a quantidade de calor que deve ser extraída da fonte quente é
Resposta
(a)
(b) Trabalho feito PELO gás em cada etapa:
Trabalho líquido realizado pelo gás no ciclo:
(Se usar a convenção trabalho SOBRE o sistema, .)
Trabalho líquido realizado pelo gás no ciclo:
(Se usar a convenção trabalho SOBRE o sistema,
(c)
Para obter de trabalho, o calor extraído da fonte quente é
Para obter