Considere o ciclo reversível de Carnot envolvendo 1 mol de um gás ideal com C_{v}=3 / 2 R. A expansão isotérmica inicial ocorre na temperatura T_{1} de 600^{\circ} \mathrm{C}, a temperatura da fonte quente, a partir de um volume inicial de 3,50 \mathrm{~L}\left(V_{1}\right) até um volume de 10,0 \mathrm{~L}\left(V_{2}\right). O sistema então sofre uma expansão adiabática até que a temperatura caia para 150^{\circ} \mathrm{C}, a temperatura da fonte fria. O sistema então sofre uma compressão isotérmica e uma subsequente compressão adiabática até que o estado inicial de T e V seja novamente alcançado.
a) Calcule V_{3} e V_{4}. \left[\mathrm{R}=29,6\right. e \left.10,4 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{3}\right]
b) Calcule w para cada etapa do ciclo e para o ciclo total. [\mathrm{R}=-3,93 \mathrm{~kJ}-ciclo total ]
c) Calcule \eta e a quantidade de calor que é extraída do reservatório quente para realizar 1,00 kJ de trabalho nas vizinhanças. [\mathrm{R}=0,515 e 1,94 \mathrm{~kJ}]

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
  • número de mols: n=1.
  • C_{V}=\tfrac{3}{2}R.
  • temperatura da fonte quente: T_{1}=600^\circ\mathrm{C}=600+273{,}15=873{,}15\\ \mathrm{K}.
  • temperatura da fonte fria: T_{3}=150^\circ\mathrm{C}=150+273{,}15=423{,}15\\ \mathrm{K}.
  • volumes iniciais na primeira isoterma: V_{1}=3{,}50\\ \mathrm{L}=3{,}50\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3} e V_{2}=10{,}0\\ \mathrm{L}=10{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}.
  • constante dos gases ideais (usar a forma usual): R\approx8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
O ciclo de Carnot segue as etapas (numeração usada abaixo):
  1. 1\to2 — expansão isotérmica a T_{1} de V_{1} para V_{2}.
  2. 2\to3 — expansão adiabática de T_{1} até T_{3} (chega em V_{3}).
  3. 3\to4 — compressão isotérmica a T_{3} de V_{3} para V_{4}.
  4. 4\to1 — compressão adiabática de T_{3} até T_{1} (volta em V_{1}).
O que é pedido:
(a) calcular V_{3} e V_{4};
(b) calcular o trabalho w em cada etapa e o trabalho total do ciclo (vou explicar a convenção de sinais);
(c) calcular a eficiência \eta e a quantidade de calor extraída do reservatório quente quando se realiza 1{,}00\\ \mathrm{kJ} de trabalho nas vizinhanças.

Passo 2

Primeiro calculemos constantes úteis e a relação adiabática que liga volumes e temperaturas.
  • Como C_{V}=\tfrac{3}{2}R, então C_{P}=C_{V}+R=\tfrac{5}{2}R.
  • A razão adiabática é
\gamma=\frac{C_{P}}{C_{V}}=\frac{5/2\,R}{3/2\,R}=\frac{5}{3}.
  • Para um processo adiabático reversível de gás ideal vale a lei
T V^{\gamma-1}=\text{constante}.
Aplicando entre os estados 2 e 3 (início da adiabática a T_{1} e fim a T_{3}):
T_{1}V_{2}^{\gamma-1}=T_{3}V_{3}^{\gamma-1}.
Isolando V_{3}:
V_{3}=V_{2}\left(\frac{T_{1}}{T_{3}}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}.
Note que \gamma-1=\tfrac{5}{3}-1=\tfrac{2}{3}, portanto \dfrac{1}{\gamma-1}=\dfrac{3}{2}=1{,}5.
Calculando o fator:
\frac{T_{1}}{T_{3}}=\frac{873{,}15}{423{,}15}\approx2{,}06356,
\left(\frac{T_{1}}{T_{3}}\right)^{1{,}5}\approx(2{,}06356)^{1{,}5}\approx2{,}9690.
Agora os volumes:
V_{3}=V_{2}\times2{,}9690=10{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}\times2{,}9690 =29{,}69\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}.
Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos):
V_{3}\approx29{,}7\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}.
Para V_{4} usamos a adiabática que conecta 4\to1:
T_{3}V_{4}^{\gamma-1}=T_{1}V_{1}^{\gamma-1} \quad\Rightarrow\quad V_{4}=V_{1}\left(\frac{T_{1}}{T_{3}}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}.
Ou seja, o mesmo fator multiplicativo que levou V_{2} a V_{3} leva V_{1} a V_{4}:
V_{4}=V_{1}\times2{,}9690=3{,}50\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}\times2{,}9690 =10{,}3915\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3},
portanto
V_{4}\approx10{,}39\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}\approx10{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 3

Agora vamos calcular o trabalho em cada etapa. Primeiro, definamos a convenção de sinais que vou usar e explicar: vou calcular o trabalho W feito PELO gás (trabalho de saída). Com essa convenção a 1ª Lei é \Delta U=Q-W. Se o resultado for negativo, significa trabalho líquido feito SOBRE o gás. No final também dou o sinal invertido (trabalho sobre o sistema) se for necessário.
Etapa 1\to2 (isotérmica a T_{1}): para gás ideal em processo isotérmico, \Delta U=0 e
W_{1\to2}=nRT_{1}\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right).
Calculemos:
\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)=\ln\!\left(\frac{10{,}0}{3{,}50}\right)=\ln(2{,}8571429)\approx1{,}049822.
W_{1\to2}=1\times8{,}314\\ \mathrm{\tfrac{J}{mol\,K}}\times873{,}15\\ \mathrm{K}\times1{,}049822 \approx7\,623{,}7\\ \mathrm{J}\approx7{,}624\\ \mathrm{J}.
Em kJ: W_{1\to2}\approx7{,}624\\ \mathrm{kJ}. (Trabalho positivo: o gás realiza trabalho durante a expansão isotérmica.)

Passo 4

Etapa 2\to3 (adiabática reversível): aqui Q=0. Usando \Delta U=Q-W com Q=0 temos W=-\Delta U. Para gás ideal \Delta U=nC_{V}(T_{3}-T_{1}). Portanto o trabalho feito pelo gás é
W_{2\to3}= -\Delta U = -nC_{V}(T_{3}-T_{1})=nC_{V}(T_{1}-T_{3}).
Com C_{V}=\tfrac{3}{2}R:
C_{V}=1{,}5\times8{,}314\\ \mathrm{J\,K^{-1}}=12{,}471\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
W_{2\to3}=1\times12{,}471\\ \mathrm{J\,K^{-1}}\times(873{,}15-423{,}15)\\ \mathrm{K} =12{,}471\times450{,}0\approx5\,611{,}95\\ \mathrm{J}.
Em kJ: W_{2\to3}\approx5{,}612\\ \mathrm{kJ}. (Positivo: durante a expansão adiabática o gás também realiza trabalho, perdendo energia interna.)

Passo 5

Etapa 3\to4 (isotérmica a T_{3}): como em 1\to2 mas agora é compressão isotérmica, o trabalho feito pelo gás será negativo:
W_{3\to4}=nRT_{3}\ln\!\left(\frac{V_{4}}{V_{3}}\right).
Observação: pela simetria do ciclo de Carnot tem-se \dfrac{V_{4}}{V_{3}}=\dfrac{V_{1}}{V_{2}}, logo \ln\!\left(\dfrac{V_{4}}{V_{3}}\right)=-\ln\!\left(\dfrac{V_{2}}{V_{1}}\right). Assim
W_{3\to4}=nRT_{3}\left(-\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)\right)=-nRT_{3}\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right).
Cálculo numérico:
W_{3\to4}=-8{,}314\times423{,}15\times1{,}049822\approx-3\,692{,}2\\ \mathrm{J}\approx-3{,}692\\ \mathrm{kJ}.
(Negativo: trabalho realizado sobre o gás durante a compressão isotérmica.)

Passo 6

Etapa 4\to1 (adiabática de compressão): é a reversa de 2\to3, portanto
W_{4\to1}=-W_{2\to3}\approx-5{,}611{,}95\\ \mathrm{J}\approx-5{,}612\\ \mathrm{kJ}.
(Negativo: trabalho feito sobre o gás para elevar sua temperatura de volta a T_{1}.)

Passo 7

Trabalho líquido do ciclo (trabalho feito pelo gás, soma das quatro etapas):
W_{\text{net}}=W_{1\to2}+W_{2\to3}+W_{3\to4}+W_{4\to1}.
Substituindo os valores (em J):
W_{\text{net}}\approx7\,623{,}7+5\,611{,}95-3\,692{,}2-5\,611{,}95\\ \mathrm{J} \approx3\,931{,}5\\ \mathrm{J}.
Arredondando: W_{\text{net}}\approx3{,}93\\ \mathrm{kJ} (trabalho líquido realizado PELO gás por ciclo).
Se a convenção exigida for o trabalho w como trabalho SOBRE o sistema (muitos livros de química usam w com esse sinal), então
w_{\text{total}}=-W_{\text{net}}\approx-3{,}93\\ \mathrm{kJ}.
(Expliquei a diferença de sinais para evitar confusão: ambos os valores são o mesmo módulo, só mudando o sinal conforme convenção.)

Passo 8

Eficiência e calor extraído do reservatório quente para produzir 1{,}00\\ \mathrm{kJ} de trabalho.
  • A eficiência térmica de Carnot (ciclo reversível entre T_{1} e T_{3}) é
\eta=1-\frac{T_{3}}{T_{1}}=1-\frac{423{,}15}{873{,}15}.
Cálculo:
\eta=1-0{,}4847\approx0{,}5153\approx0{,}515.
  • No ciclo o calor absorvido da fonte quente ocorre totalmente na isoterma 1\to2; para um processo isotérmico de gás ideal Q_{1\to2}=W_{1\to2}. Assim, o calor absorvido por ciclo é Q_{H}=W_{1\to2}\approx7{,}624\\ \mathrm{kJ}. A eficiência também pode ser obtida por \eta=W_{\text{net}}/Q_{H} (confirmação numérica: 3{,}932/7{,}624\approx0{,}515).
  • Para realizar 1{,}00\\ \mathrm{kJ} de trabalho nas vizinhanças (isto é, W=1{,}00\\ \mathrm{kJ} de trabalho entregue pelo motor), a quantidade de calor que deve ser extraída da fonte quente é
Q_{H}=\frac{W}{\eta}=\frac{1{,}00\\ \mathrm{kJ}}{0{,}515}\approx1{,}9417\\ \mathrm{kJ}\approx1{,}94\\ \mathrm{kJ}.

Resposta

(a) V_{3}\approx29{,}7\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3},\qquad V_{4}\approx10{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}.
(b) Trabalho feito PELO gás em cada etapa:
W_{1\to2}\approx+7{,}624\\ \mathrm{kJ},
W_{2\to3}\approx+5{,}612\\ \mathrm{kJ},
W_{3\to4}\approx-3{,}692\\ \mathrm{kJ},
W_{4\to1}\approx-5{,}612\\ \mathrm{kJ}.
Trabalho líquido realizado pelo gás no ciclo:
W_{\text{net}}\approx+3{,}93\\ \mathrm{kJ}.
(Se usar a convenção trabalho SOBRE o sistema, w_{\text{total}}=-3{,}93\\ \mathrm{kJ}.)
(c) \displaystyle \eta=1-\frac{T_{3}}{T_{1}}\approx0{,}515.
Para obter 1{,}00\\ \mathrm{kJ} de trabalho, o calor extraído da fonte quente é
\displaystyle Q_{H}=\frac{1{,}00\\ \mathrm{kJ}}{\eta}\approx1{,}94\\ \mathrm{kJ}.

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