Um mol de gás \mathrm{N}_{2} a 20,5^{\circ} \mathrm{C} e 6,0 bar passa por uma mudança até alcançar o estado com 145^{\circ} \mathrm{C} e 2,75 bar. Calcule a variação de entropia considerando que C_{p, m} varia com T de acordo com: C_{p, m}\left(\mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}\right)=30,81-11,87 \times 10^{-3} \mathrm{~T}(\mathrm{~K})+2,3968 \times 10^{-5} \mathrm{~T}^{2}\left(\mathrm{~K}^{2}\right)-1,0176 \times 10^{-8} \mathrm{~T}^{3}\left(\mathrm{~K}^{3}\right). \left[\mathrm{R}=17,4 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1}\right]

Passo 1

O enunciado fornece os dados do processo e pede a variação de entropia do sistema. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido (peguei todos estes dados do enunciado):
  • Quantidade de substância: 1 mol de \mathrm{N}_2.
  • Estado inicial:
    • Temperatura inicial T_1 = 20{,}5^\circ\mathrm{C} = 293{,}65\\ \mathrm{K}.
    • Pressão inicial P_1 = 6{,}0\\ \mathrm{bar}.
  • Estado final:
    • Temperatura final T_2 = 145^\circ\mathrm{C} = 418{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Pressão final P_2 = 2{,}75\\ \mathrm{bar}.
  • Capacidades molares a pressão constante fornecidas como função de T (em \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}): C_{p,m}(T)=30{,}81-11{,}87\times10^{-3}T+2{,}3968\times10^{-5}T^{2}-1{,}0176\times10^{-8}T^{3}.
  • Constante dos gases dada: R=17{,}4\\ \mathrm{J\,K^{-1}} (usar o valor indicado no enunciado).
  • O que se pede: calcular a variação de entropia molar \Delta S_m (em \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}) ao ir do estado (T_1,P_1) para (T_2,P_2).

Passo 2

Escolha da fórmula e hipótese (explicação didática curta).
  • Para um gás ideal, a variação de entropia molar entre dois estados (T_1,P_1) e (T_2,P_2) para um processo reversível qualquer é dada por:
\Delta S_m=\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_{p,m}(T)}{T}\,dT - R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
  • Explicação do porquê dessa fórmula (passo-a-passo didático):
    • A relação básica (para um gás ideal, caminho reversível) é dS=\dfrac{dQ_{\text{rev}}}{T}.
    • Para processo a pressão variável, usando dQ_{\text{rev}} = C_{p,m}(T)\,dT em um caminho reversível apropriado (controle por T e P), tem-se o termo com a integral de C_{p,m}/T.
    • Ao passar de uma pressão para outra para um gás ideal aparece o termo -R\ln(P_2/P_1) (isto vem da combinação das relações termodinâmicas para gás ideal; em prática é a contribuição associada à variação de pressão).
  • Vou usar essa fórmula porque o enunciado fornece C_{p,m}(T) e as pressões, e esse é o método padrão para gases ideais. (Assume-se comportamento próximo de gás ideal — hipótese comum nesses problemas.)

Passo 3

Preparar a integral e simplificar simbolicamente.
  • Escrevemos \Delta S_m explicitamente com a expressão polinomial de C_{p,m}(T):
\Delta S_m=\int_{T_1}^{T_2}\frac{30{,}81-0{,}01187\,T+2{,}3968\times10^{-5}T^{2}-1{,}0176\times10^{-8}T^{3}}{T}\,dT - R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
  • Separando os termos da integral:
\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_{p,m}(T)}{T}\,dT = \int_{T_1}^{T_2}\left(\frac{30{,}81}{T}-0{,}01187+2{,}3968\times10^{-5}T-1{,}0176\times10^{-8}T^{2}\right)dT.
  • Agora integro cada termo (mostrando a primitiva):
\begin{aligned} \int\frac{30{,}81}{T}\,dT &= 30{,}81\ln T,\\[4pt] \int(-0{,}01187)\,dT &= -0{,}01187\,T,\\[4pt] \int 2{,}3968\times10^{-5}T\,dT &= \frac{2{,}3968\times10^{-5}}{2}T^{2}=1{,}1984\times10^{-5}T^{2},\\[4pt] \int -1{,}0176\times10^{-8}T^{2}\,dT &= -\frac{1{,}0176\times10^{-8}}{3}T^{3}=-3{,}392\times10^{-9}T^{3}. \end{aligned}
  • Assim a primitiva I(T) é:
I(T)=30{,}81\ln T -0{,}01187\,T +1{,}1984\times10^{-5}T^{2} -3{,}392\times10^{-9}T^{3}.
  • Portanto a integral é I(T_2)-I(T_1), e a variação de entropia molar fica:
\Delta S_m = \bigl[I(T_2)-I(T_1)\bigr] - R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).]

Passo 4

Avaliação numérica da integral: calcular I(T_2) e I(T_1) com os valores numéricos.
  • Primeiro, lembrar os valores:
    • T_1=293{,}65\\ \mathrm{K}.
    • T_2=418{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular I(T_2):
\begin{aligned} I(T_2) &= 30{,}81\ln(418{,}15) -0{,}01187(418{,}15) +1{,}1984\times10^{-5}(418{,}15)^2 \\\ &\quad -3{,}392\times10^{-9}(418{,}15)^3. \end{aligned}
  • Calcular I(T_1):
\begin{aligned} I(T_1) &= 30{,}81\ln(293{,}65) -0{,}01187(293{,}65) +1{,}1984\times10^{-5}(293{,}65)^2 \\\ &\quad -3{,}392\times10^{-9}(293{,}65)^3. \end{aligned}
  • Em vez de mostrar cada multiplicação longa sem contexto, vou mostrar os resultados intermediários já calculados passo a passo (contas detalhadas):
    • Razão de temperaturas e logaritmo útil: \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=\ln\!\left(\frac{418{,}15}{293{,}65}\right)=\ln(1{,}4246)\approx 0{,}35389.
    • Termo do logaritmo: 30{,}81\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=30{,}81\times0{,}35389\approx10{,}900\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
    • Termo linear: -0{,}01187(T_2-T_1)=-0{,}01187\times(418{,}15-293{,}65)=-0{,}01187\times124{,}5\approx -1{,}478\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
    • Termo quadrático: 1{,}1984\times10^{-5}\bigl(T_2^2-T_1^2\bigr) \approx 1{,}1984\times10^{-5}\times88619{,}10\approx 1{,}06201\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.(Aqui usei T_2^2-T_1^2\approx 88619{,}10\\ \mathrm{K^2}.)
    • Termo cúbico: -3{,}392\times10^{-9}\bigl(T_2^3-T_1^3\bigr) \approx -3{,}392\times10^{-9}\times47791751{,}82\approx -0{,}16211\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.(Aqui usei T_2^3-T_1^3\approx 4{,}7791\times10^{7}\\ \mathrm{K^3}.)
  • Somando as contribuições da integral:
\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_{p,m}(T)}{T}\,dT \approx 10{,}900 -1{,}478 +1{,}06201 -0{,}16211 \approx 10{,}3219\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 5

Termo da variação de pressão e combinação final.
  • Calcular o termo do logaritmo de pressão com o R fornecido:
    • Primeiro o logaritmo: \ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=\ln\!\left(\frac{2{,}75}{6{,}0}\right)=\ln\!(0{,}458333\ldots)\approx -0{,}7801598.
    • Multiplicando por -R (com R=17{,}4\\ \mathrm{J\,K^{-1}} conforme enunciado): -R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=-17{,}4\times(-0{,}7801598)\approx +13{,}5748\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Agora somar a contribuição térmica e a contribuição de pressão:
\Delta S_m \approx 10{,}3219 + 13{,}5748 \approx 23{,}8967\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.

Passo 6

Interpretação e arredondamento final (didática e incentivo).
  • O valor deu positivo: \Delta S_m>0. Faz sentido físico: a temperatura aumentou e a pressão diminuiu, ambos tendem a aumentar a entropia do gás.
  • Para apresentação em prova, normalmente arredonda-se com 3 algarismos significativos: \Delta S_m \approx 23{,}9\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
  • Vai dar certo na prova! Se pedirem mais casas, use 23{,}90\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.

Resposta

\Delta S_m \approx 23{,}9\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}

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