Um mol de gás
a
e 6,0 bar passa por uma mudança até alcançar o estado com
e 2,75 bar. Calcule a variação de entropia considerando que
varia com
de acordo com:
.
Passo 1
O enunciado fornece os dados do processo e pede a variação de entropia do sistema. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido (peguei todos estes dados do enunciado):
- Quantidade de substância:
mol de . - Estado inicial:
- Temperatura inicial
. - Pressão inicial
.
- Temperatura inicial
- Estado final:
- Temperatura final
. - Pressão final
.
- Temperatura final
- Capacidades molares a pressão constante fornecidas como função de
(em ): - Constante dos gases dada:
(usar o valor indicado no enunciado). - O que se pede: calcular a variação de entropia molar
(em ) ao ir do estado para .
Passo 2
Escolha da fórmula e hipótese (explicação didática curta).
- Para um gás ideal, a variação de entropia molar entre dois estados
e para um processo reversível qualquer é dada por:
- Explicação do porquê dessa fórmula (passo-a-passo didático):
- A relação básica (para um gás ideal, caminho reversível) é
. - Para processo a pressão variável, usando
em um caminho reversível apropriado (controle por e ), tem-se o termo com a integral de . - Ao passar de uma pressão para outra para um gás ideal aparece o termo
(isto vem da combinação das relações termodinâmicas para gás ideal; em prática é a contribuição associada à variação de pressão).
- A relação básica (para um gás ideal, caminho reversível) é
- Vou usar essa fórmula porque o enunciado fornece
e as pressões, e esse é o método padrão para gases ideais. (Assume-se comportamento próximo de gás ideal — hipótese comum nesses problemas.)
Passo 3
Preparar a integral e simplificar simbolicamente.
- Escrevemos
explicitamente com a expressão polinomial de :
- Separando os termos da integral:
- Agora integro cada termo (mostrando a primitiva):
- Assim a primitiva
é:
- Portanto a integral é
, e a variação de entropia molar fica:
Passo 4
Avaliação numérica da integral: calcular
e
com os valores numéricos.
- Primeiro, lembrar os valores:
-
. -
.
-
- Calcular
:
- Calcular
:
- Em vez de mostrar cada multiplicação longa sem contexto, vou mostrar os resultados intermediários já calculados passo a passo (contas detalhadas):
- Razão de temperaturas e logaritmo útil:
- Termo do logaritmo:
- Termo linear:
- Termo quadrático:
(Aqui usei .) - Termo cúbico:
(Aqui usei .)
- Razão de temperaturas e logaritmo útil:
- Somando as contribuições da integral:
Passo 5
Termo da variação de pressão e combinação final.
- Calcular o termo do logaritmo de pressão com o
fornecido: - Primeiro o logaritmo:
- Multiplicando por
(com conforme enunciado):
- Primeiro o logaritmo:
- Agora somar a contribuição térmica e a contribuição de pressão:
Passo 6
Interpretação e arredondamento final (didática e incentivo).
- O valor deu positivo:
. Faz sentido físico: a temperatura aumentou e a pressão diminuiu, ambos tendem a aumentar a entropia do gás. - Para apresentação em prova, normalmente arredonda-se com 3 algarismos significativos:
. - Vai dar certo na prova! Se pedirem mais casas, use
.