Considere o cicloide parametrizado pelas equações
x(theta)=r(theta-sen theta), y(theta)=r(1-cos theta)
(b) Encontre o volume do sólido obtido através da rotação desta área pelo eixo x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a área sob uma volta completa da cicloide
x(theta)=rl(theta-senthetar), y(theta)=rl(1-costhetar)
em torno do eixo x, para thetain[0,2pi].
O conteúdo principal aqui é o método dos discos (ou “washers”) para sólidos de revolução, que usa
V=integral pi,y^2,dx

Passo 2

Em parametrização por theta, temos dx = x'(theta),dtheta. Logo
V ;=;integralx(0)^x(2pi)pi,y^2,dx ;=;integral0^2pipil[y(theta)r]^2,x'(theta),dtheta

Passo 3

Vamos calcular y(theta) e x'(theta):
y(theta)=rl(1-costhetar), x'(theta)=ddthetal[r(theta-sentheta)r] =rl(1-costhetar)

Passo 4

Substituindo em V:
V =integral0^2pipil[r(1-costheta)r]^2;l[r(1-costheta)r], dtheta =pi,r^3integral0^2pi(1-costheta)^3,dtheta

Passo 5

Expandimos (1-costheta)^3=1-3costheta+3cos^2theta-cos^3theta e usamos:
integral0^2pi1,dtheta=2pi, integral0^2picostheta,dtheta=0, integral0^2picos^2theta,dtheta=pi, integral0^2picos^3theta,dtheta=0
Assim
integral0^2pi(1-costheta)^3,dtheta =2pi-0+3pi-0=5pi,
e
V=pi,r^3,(5pi)=5pi^2,r^3

Resposta

V=5pi^2,r^3

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