1^ a Questão: ( 20 pontos) Encontre o intervalo de convergencia da série de potências, e teste a convergencia nos extremos desse intervalo:
sumn=0^infty 1(n+1)^2 3^n(x+2)^n

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências

Passo 2

O conteúdo é sobre séries de potências e vamos precisar do teste da razão para achar onde ela converge e depois testar os extremos desse intervalo

Passo 3

Vamos chamar o termo geral de
an = (x+2)^n(n+1)^2,3^n
O teste da razão diz que a série converge se
L = limntoinfty|an+1an| < 1

Passo 4

Agora calculamos a razão:
|an+1an| = |x+2|3cdot(n+1)^2(n+2)^2
Como
limntoinfty(n+1)^2(n+2)^2 = 1
ficamos com
L = |x+2|3
Então a série converge se
|x+2|3 < 1

Passo 5

Isso dá
|x+2| < 3
que em desigualdade composta é
-3 < x+2 < 3
e subtraindo 2:
-5 < x < 1

Passo 6

Agora vamos testar os extremos x = -5 e x = 1

Passo 7

Para x = -5: temos x+2 = -3, então o termo geral vira
(-3)^n(n+1)^2,3^n = (-1)^n(n+1)^2
A série sum (-1)^n/(n+1)^2 converge absolutamente porque sum 1/(n+1)^2 é uma série p de p = 2 > 1

Passo 8

Para x = 1: temos x+2 = 3, então o termo geral vira
3^n(n+1)^2,3^n = 1(n+1)^2
E sum 1/(n+1)^2 também converge (série p com p = 2 > 1)

Passo 9

Como em ambos os extremos a série converge, incluímos -5 e 1 no intervalo

Resposta

O intervalo de convergência é [-5, 1]

Exercícios relacionados