Questão: ( 20 pontos) Encontre o intervalo de convergencia da série de potências, e teste a convergencia nos extremos desse intervalo:
Passo 1
O enunciado pede pra gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências
Passo 2
O conteúdo é sobre séries de potências e vamos precisar do teste da razão para achar onde ela converge e depois testar os extremos desse intervalo
Passo 3
Vamos chamar o termo geral de
O teste da razão diz que a série converge se
Passo 4
Agora calculamos a razão:
Como
ficamos com
Então a série converge se
Passo 5
Isso dá
que em desigualdade composta é
e subtraindo 2:
Passo 6
Agora vamos testar os extremos x = -5 e x = 1
Passo 7
Para x = -5: temos x+2 = -3, então o termo geral vira
A série
sum (-1)^n/(n+1)^2 converge absolutamente porque
sum 1/(n+1)^2 é uma série p de p = 2 > 1
Passo 8
Para x = 1: temos x+2 = 3, então o termo geral vira
E
sum 1/(n+1)^2 também converge (série p com p = 2 > 1)
Passo 9
Como em ambos os extremos a série converge, incluímos -5 e 1 no intervalo
Resposta
O intervalo de convergência é [-5, 1]